Вопрос про линейную независимость

[SirArktic]

Может ли в $R^3$ существовать система из пяти линейно независимых векторов?

Я так понимаю что может, но я не совсем понимаю как это доказать :с

[ewert]

SirArktic в сообщении #1183051 писал(а):

Я так понимаю что может, но я не совсем понимаю как это доказать :с

Предъявить пример.

[SirArktic]

$(0 0 1)$
$(0 1 0)$
$(1 0 0)$
$(0 1 1)$
$(1 0 1)$

-- 09.01.2017, 19:50 --

Но пример не является доказательством)

[Metford]

А Вы доказать можете, что они линейно независимые?
Пример может быть доказательством. Вопрос: существует ли нечто? Вы предъявляете пример (доказывая, что это то самое нечто и есть) - больше ничего не нужно. Вот доказать, что чего-то нет - это так не получится.

[ewert]

SirArktic в сообщении #1183058 писал(а):

Но пример не является доказательством)

В данном случае только пример и может являться доказательством существования.

Но только, конечно, если Вам удастся доказать, что эти строки и впрямь линейно независимы. Попытайтесь.

[provincialka]

SirArktic
А над каким полем вы проверяете независимость?

[Aritaborian]

SirArktic в сообщении #1183058 писал(а):

Но пример не является доказательством)

SirArktic, вы явно где-то чего-то покурили нахватались по верхам, а теперь пытаетесь (я надеюсь) с помощью компетентных товарищей правильно уложить это в голове. Так вот. В данном случае предъявление примера, удовлетворяющего условию, является доказательством. Другое дело, верный ли вы привели пример.

(Оффтоп)

Ну всё, понеслась сага про семь нянек.

[SirArktic]

Стоп, это линейно зависимая система, да?) Ведь последние два вектора можно выразить через первые три

[Aritaborian]

SirArktic, а вы небезнадёжны ;-)

[provincialka]

Что мы все темним, право дело! Эти вектора зависимы в $\mathbb R^3$. И всё тут.

А! ТС и сам догадался .. Молодец

[SirArktic]

Затупил, бывает) Спасибо за помощь!)

[Mikhail_K]

SirArktic в сообщении #1183079 писал(а):

Затупил, бывает) Спасибо за помощь!)

А за какую, собственно, помощь?
Задание Вы пока не решили и даже не начинали.

SirArktic в сообщении #1183051 писал(а):

Может ли в $R^3$ существовать система из пяти линейно независимых векторов?

Если бы Вы предъявили пример системы из пяти линейно независимых векторов, то, как Вам правильно сказали, это было бы доказательством положительного ответа на Ваш вопрос.
Но, как Вы видите, в Вашем примере векторы линейно зависимы. То есть Ваш пример не подходит.
А предъявление примера системы линейно зависимых векторов уже НЕ является доказательством отрицательного ответа на Ваш вопрос. Из того, что в одном конкретном примере векторы линейно зависимы, не следует, что не может быть другого примера, с пятью линейно независимыми векторами.

SirArktic в сообщении #1183058 писал(а):

Но пример не является доказательством)

Предъявление примера является доказательством существования, но не является доказательством несуществования.
Если верный ответ на Ваш вопрос положительный (такая система существует), то для доказательства этого Вам нужно привести пример такой системы (очевидно, не тот, который Вы привели, а с линейно независимыми векторами).
Если же верный ответ на Ваш вопрос отрицательный (такой системы нет), то никакой пример не может быть доказательством этого, и это нужно доказывать как-то иначе.

[SirArktic]

Но базис $\mathbb R^3$ состоит из трех векторов, так что думаю что существование пяти линейно независимых векторов в $\mathbb R^3$ невозможно.

[provincialka]

Верно думаете. Если вы хорошо понимаете все сопутствующие теоремы. Например, про то, что во всех базисах одного пространства одинаковое число векторов.

[Aritaborian]

SirArktic в сообщении #1183104 писал(а):

так что думаю

Незачёт. Слова «так что, думаю...» доказательством не являются. Хотя думаете, конечно, в верном направлении.

(Про ТеХ)

А вот переход от $R$ к $\mathbb R$ это да, это мы коллективно одобряем ;-)