Десятичная запись степеней тройки и четвёрки

[Ktina]

Существует ли такое натуральное $n$, что десятичная запись числа $3^n$ начинается цифрой 4, а десятичная запись числа $4^n$ начинается цифрой 3?

[gris]

Есть. Но как это без тупого перемножения показать, не знаю
Взял для смеха ввёл $1,3,9,2,8,2,7,2,...$ в OEIS и надо же — их там есть!
Вообще у меня такая идея: последовательность первых цифр не периодическая и никаких закономерностей не видно (кроме степени десятки). И можно предположить, что никакая пара первых цифр не имеет ни запретов, ни преференций. А поэтому обязательно встретится.

[Ktina]

gris в сообщении #1183024 писал(а):

...
Вообще у меня такая идея: последовательность первых цифр не периодическая и никаких закономерностей не видно (кроме степени десятки). И можно предположить, что никакая пара первых цифр не имеет ни запретов, ни преференций. А поэтому обязательно встретится.

Но ведь сие неверно для чисел $2^n$ и $5^n$ Там тоже не периодическая последовательность из первых цифр, однако не существует такого натурального $n$, при котором число $2^n$ начинается на 5, а число $5^n$ начинается на 2.

[gris]

С двойкой и пятёркой понятно. Их произведение равно ровно десяти и нужная степень двойки должна быть ровно пять с нулями, а пятёрки ровно два с нулями. А с другими цифрами помилосерднее. Хотя, закономерностей, конечно, навалом. Но они не жёсткие. Без подбора, наверное, через логарифмы?

[DeBill]

gris в сообщении #1183158 писал(а):

наверное, через логарифмы?

Ну да, конечно: если вектора $1,a$ и $b$ из $\mathbb{R}$ линейно независимы над полем $\mathbb{Q}$, то орбиты сдвига $(x,y) \mapsto (x+a,y+b)$ плотны в торе $\mathbb{T}^2 = (\mathbb{R}/\mathbb{Z})^2$. Это означает, что степени тройки и четверки могут - одновременно - начинаться с любых предписанных -независимо - наборов цифр....
Для двойки и пятерки - не катит, ибо зависимы оне (то бишь, $1, \lg2, \lg5 $)