Конечные разности по Фихтенгольцу

[evgeniysmv]

Не могу уловить некоторые моменты доказательства формулы, связывающей конечные разности с производной n-го порядка.




Из текста ... допустим справедливость изменённой формулы (7), получаемой при замене $n$ на $n-1$ ...

По какой причине мы можем сделать такое допущение? Потому что при $n=1$ формула сводится к формуле конечных приращений? То есть теперь мы формулу (7) должны написать, как

$$\Delta^{n-1} f(x_0) = f^{(n-1)} (\xi_{n-1}) \cdot \Delta x^{n-1}$$

и предполагать, что она является формулой конечных приращений, от которой мы будем отталкиваться для доказательства методом математической индукции?
Далее по тексту ... разумеется, при соответственно изменённых предположениях... Это означает, что мы теперь предполагаем, что функция $f(x)$ имеет $n-2$ непрерывных производных в замкнутом промежутке и конечную $n-1$ производную в открытом промежутке?
... и докажем (7) при сделанных предположениях... к чему эта фраза? К предположениям относительно существования производных или сделанном нами допущении справедливости изменённой формулы, или и того и другого?

Далее ... из них следует, что для функции $\Delta f(x) = f(x+\Delta x) - f(x)$ в промежутке $[x_0, x_0 + \overline{n-1} \Delta x]$ с избытком выполняются условия применимости изменённой формулы (7)... Из кого, из сделанных предположений относительно допустимости изменённой формулы? И почему вдруг начали рассматривать функцию $\Delta f(x) = f(x+\Delta x) - f(x)$ и условия применимости изменённой формулы (7) к ней?

Ни в одном другом учебнике не нашёл ничего про эту формулу (7) и её доказательства, а в этом учебнике это пока единственное, что так поставило меня в тупик, хотя сама формула интуитивно понятна. Может быть есть где-то упоминание этой формулы и её доказательство в других источниках?

[ewert]

У Фихтенгольца не очень удачная запись. Он имел в виду следующее. Если обозначить $g(x)=\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$, то

$$\Delta^nf(x_0)=\Delta^{n-1}g(x_0)=\Delta x^{n-1}\cdot g^{(n-1)}(\xi_{n-1})=$$

$$=\Delta x^{n-1}\cdot \big(f^{(n-1)}(\xi_{n-1}+\Delta x)-f^{(n-1)}(\xi_{n-1})\big)=\Delta x^{n-1}\cdot f^{(n)}(\xi_n)\cdot\Delta x,$$

где $\xi_n\in(\xi_{n-1};\xi_{n-1}+\Delta x)$, в то время как (по индукционному предположению) $\xi_{n-1}\in(x_0;x_0+(n-1)\Delta x)$.

[ewert]

Да, кстати.

evgeniysmv в сообщении #1182789 писал(а):

Ни в одном другом учебнике не нашёл ничего про эту формулу (7) и её доказательства

Читайте не в учебниках по анализу, а в учебниках по численным методам. Для анализа как такового эта теорема факультативна (чем, кстати, Фихтенгольц и замечателен -- огромным количеством факультативных и при этом полезных вещей). А вот для вычислительной математики -- сей факт обязателен.

И ещё кстати. У Фихтенгольца откровенно избыточны требования на функцию. На самом деле для утверждения достаточно просто дифференцируемости (нужного порядка) функции внутри оговоренного промежутка плюс её непрерывности (лишь самой этой функции!) на соотв. замкнутом отрезке. Никаких ограниченностей производных не нужно.

Скорее всего, Фихтенгольц попытался адаптировать теорему к товарищам, которым неинтересны нюансы. Он так часто делал (он же ведь как бы для физтехников постил), и, в общем, обоснованно: ну чего там ловить блох. Но в данном случае (если я угадал) -- он промахнулся: в данном случае неловля лишь запудривает мозги.