Задачи по теории меры

[Hasek]

Цитата:

(a) Find the Lebesgue measure of the set of $x \in [0;1]$ such that there exists a decimal representation of $x$ that does not contain the digit $3$.
(b) Find the Lebesgue measure of the set of $x \in [0;1]$ such that no decimal representation of $x$ contains the digit $3$.

(a) Обозначим за $A_n$ множество чисел из $[0;1]$, таких, что существует их десятичная запись, не содержащая $3$ среди первых $n$ цифр после запятой. Сразу видно, что $A_{n+1} \subset A_n$ и $\mu(A_{n+1}) = \frac{9}{10} \mu(A_n)$. Так как $A = \lim\limits_{n \to \infty} \cap_{i=1}^n A_i$, то $\mu(A) = \lim\limits_{n \to \infty} (\frac{9}{10})^n = 0$.
(b) Просто скажем, что множество из пункта (b) должно быть подмножеством множества из пункта (a), но подмножество множества меры нуль тоже имеет меру нуль.

Цитата:

Suppose that $S$ is a family of measurable functions from $[0;1]$ to $\mathbb{R}$ (by measurable we mean measurable w.r.t. the Lebesgue measure). Put $f(x) = \sup\limits_{f \in S} f(x)$ ($f(x)$ may be equal to $+\infty$).
(a) Prove that $f$ is measurable whenever $S$ is countable.
(b) Prove that this is not the case in general if $S$ is uncountable.

(a) Начать, пожалуй, можно с того, что $f$ измерима тогда и только тогда, когда $f^{-1}((-\infty,a))$ является борелевским подмножеством вещественной прямой $\forall a \in \mathbb{R}$. И вот дальше непонятно, как доказывать измеримость, и что ломается в случае несчётного семейства функций $S$. Ведь супремум можно взять и по несчётному множеству.

[Brukvalub]

$f^{-1}((-\infty,a])=\{x |f(x) \leq a\}=\bigcap\limits_{g \in S} \{x | g(x) \leq a \} $. Отсюда видно, почему свойство измеримости сохраняется для супремума счетного семейства и как его нарушить для несчетного семейства.

[Hasek]

Благодарю, разобрался. Здесь важно, что сигма-алгебра замкнута относительно счётного объединения или пересечения своих элементов.