Композиции функций

[Rusit8800]

А немного не разбираюсь в этом вопросе, но $\[f \circ g(X)\]$ и $\[\left( {f \circ g} \right)(X)\]$ - это случайно не одно и то же? Иначе получается, что это композиция функции и множества, что бессмысленно.
И если $\[f \circ g = g \circ f\]$, то обязательно ли $\[\left( {f \circ g} \right)(A) = \left( {g \circ f} \right)(A)\]$ - для любой точки $A$. Здесь $f$ и $g$- некоторые геометрические преобразования, скажем, поворотная гомотетия.

[Munin]

Как говорится, "одно и то же, но не случайно".

На второй вопрос: вспомните, что буквально означает утверждение, что "одна функция равна другой функции".

[Rusit8800]

Munin в сообщении #1181398 писал(а):

Как говорится, "одно и то же, но не случайно".

Это как?

Munin в сообщении #1181398 писал(а):

На второй вопрос: вспомните, что буквально означает утверждение, что "одна функция равна другой функции".

Значит имеют одинаковое ОДЗ, и принимают одинаковые значения при одинаковых значениях переменных, от которых зависят эти функции(лень писать строго).

[Munin]

Rusit8800 в сообщении #1181406 писал(а):

Это как?

Это шутка.

$f$ и $g$ - это функции. $f\circ g$ - это тоже функция. А когда у нас есть функция, то $\textit{функция}\,(x)$ - это значение этой функции в точке $x.$

Но нет способа прочитать запись $f\circ g(x)$ "неправильно". Если мы подумаем, что надо в духе $f\circ(g(x))$ сначала вычислить правую операцию, а потом левую, то мы столкнёмся с тем, что не можем этого сделать. $g(x)$ - это уже будет какое-то значение, скажем, $y.$ А что такое $f\circ y$? Мы не умеем "брать композицию" от функции и значения, у нас нет в наличии такого действия. Это понятно?

Rusit8800 в сообщении #1181406 писал(а):

Значит... принимают одинаковые значения при одинаковых значениях переменных

А теперь применим это к вопросу $(f\circ g)(A)\stackrel{?}{=}(g\circ f)(A).$

[Rusit8800]

Munin в сообщении #1181417 писал(а):

А теперь применим это к вопросу $(f\circ g)(A)\stackrel{?}{=}(g\circ f)(A).$

По идее да, так как $\[f \circ g = g \circ f\]$. Но смущает меня другое, в задачнике Прасолова была такая задача:
Пусть $H_1$ и $H_2$ — две поворотные гомотетии. Докажите, что $H_1 \circ H_2 = H_2 \circ H_1$ тогда и только тогда, когда $H_1 \circ H_2(A) = H_2 \circ H_1(A)$ для некоторой точки $A$.
Если все есть ровно так, как вы сказали и как я подумал, то чего тут доказывать?

[Slav-27]

Rusit8800
Доказать надо, что для любой, а известно, что для одной какой-то.

[Rusit8800]

Но функции равны.

[Slav-27]

Это в одну сторону: если функции равны, то в некоторой точке так. (На самом деле в любой.) А ещё в другую сторону надо: если в некоей точке так, то функции равны.

[Munin]

Rusit8800 в сообщении #1181477 писал(а):

чего тут доказывать?

Фраза "тогда и только тогда" означает две стрелочки: $\Rightarrow$ и $\Leftarrow.$ Одну из них может быть доказать тривиально, ну и ладно, доказывайте другую. Задача состоит в том, чтобы всё-таки обе.

[bot]

Rusit8800 в сообщении #1181483 писал(а):

Но функции равны.

А откуда Вы знаете? Ведь ровно это и требуется доказать, исходя из равенства в одной точке.

[Rusit8800]

Slav-27 в сообщении #1181486 писал(а):

А ещё в другую сторону надо: если в некоей точке так, то функции равны.

Верно ли это достаточное условие для любой функции?

[Slav-27]

Rusit8800, вы не издеваетесь?

Если функции $f$ и $g$ равны, то для любого $x$ из их области определения (она у них одна и та же) $f(x)=g(x)$.

Однако если, например, $f(5)=g(5)$, то это ещё не означает, что $f=g$: могут быть другие аргументы, кроме $5$, на которых значения отличаются.

[Rusit8800]

Slav-27 в сообщении #1181748 писал(а):

Однако если, например, $f(5)=g(5)$, то это ещё не означает, что $f=g$: могут быть другие аргументы, кроме $5$, на которых значения отличаются.

Ох, да что-то я жестко тупанул . Спасибо.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1181417 писал(а):

Но нет способа прочитать запись $f\circ g(x)$ "неправильно". Если мы подумаем, что надо в духе $f\circ(g(x))$ сначала вычислить правую операцию, а потом левую, то мы столкнёмся с тем, что не можем этого сделать. $g(x)$ - это уже будет какое-то значение, скажем, $y.$ А что такое $f\circ y$? Мы не умеем "брать композицию" от функции и значения, у нас нет в наличии такого действия. Это понятно?

А вдруг значения $g$ — (подходящие для такой композиции) функции! Так что это вопрос приоритета синтаксических конструкций всё-таки, по-моему. И соглашения, что он такой, чтобы $f\circ g(x)$ парсилось как $(f\circ g)(x)$.

[Munin]

Вот я специально обошёл эту экзотику как извращения :-)