Уравнение в простых числах

[Ktina]

Решить в простых числах уравнение:

$$(p+123)(q+123)=2p^rq^{st}$$

[gris]

Я увидал $2$ и $5$: $125\cdot128=2\cdot5^3\cdot2^{2\cdot3}$

[SomePupil]

Йее, я решил.

При $q \geq 7$ правая часть становится слишком большой:

$$p+123 = 2p^r\frac{q^{st}}{q+123} \geq 2p^r\frac{7^4}{130} > 32p^r \geq 32p^2$$

Видно, что при $p=2$ правая часть больше левой, и тем более при $p > 2$.

Значит, надо рассмотреть только $q = 2, 3, 5$. Из них подходит только один, который дает решения:

$$p=5, q=2, r=3, s=2, t=3,$$

$$p=5, q=2, r=3, s=3, t=2.$$

Могу расписать поподробнее, если будет надо.

[Ktina]

SomePupil в сообщении #1182758 писал(а):

При $q \geq 7$ правая часть становится слишком большой...

Это лишнее, можно проще решить...

[grizzly]

Ktina в сообщении #1182878 писал(а):

Это лишнее, можно проще решить...

Может так: пусть решение существует; одно из чисел $p,q$ есть 2 (иначе несоответствие чётности), тогда другое -- 5.

[Ktina]

grizzly
Да

[ewert]

(Оффтоп)

А я голосую за SomePupil. Если дося -- так зачем стирать дольше?...