Корень из семи

[SomePupil]

Маленькая задача на изобретательность: вычислить руками $\sqrt 7$ настолько точно, насколько Вы можете. Решение должно легко воспроизводиться в уме.

Мое первое решение: $2.6^2 = 6.76$.

$$(2.6+\Delta x)^2 \approx 6.76 + 5.2\Delta x$$

$$\Delta x \approx 0.24/5.2 = 3/65 \approx 3/60 = 0.05.$$

$\sqrt 7 \approx 2.65$.

[arqady]

Подсчитаем $2.645^2$.
$264\cdot265=265^2-265$ и $26\cdot27=27^2-27=729-27=702$.
Поэтому $264\cdot265=265^2-265=70225-265=69960$ и окончательно $2.645^2=6.996025$.

[grizzly]

Уже написали, но можно то же чуть проще, имхо (требует меньше ячеек памяти):
$264\cdot 265=132\cdot 530 = 66\cdot 1060 = 66000+3960=69960$.

[Markiyan Hirnyk]

Для дальнейших попыток см. результаты поиска и картину. Удачи, господа!

[grizzly]

И, кстати, учитывая, что 2,650 даёт перелёт на 0,0225, а 2,645 -- недолёт на ~0,0040 можно последнюю цифру 2,645 увеличить на $5\cdot 40/265$ до примерно 2,64575.

[mihiv]

$\sqrt 7=\dfrac {\sqrt {63}}3, \sqrt {63}=\sqrt {64-1}\approx 8(1-\frac 1{128})= 7,9375$. Отсюда $\sqrt 7\approx 2.6458$

[DeBill]

По итерационной формуле $x_{n+1} =\frac{1}{2}(x_n + \frac{7}{x_n})$ с начальным приближением $x_0 = \frac{5}{2}$ находим
$x_1 = \frac{53}{20} =2.65$
$x_2= \frac{5609}{2120}$
и $x_2^2 - 7 = \frac{9}{4494400}\approx 0.000002$

[Sonic86]

DeBill в сообщении #1182325 писал(а):

По итерационной формуле $x_{n+1} =\frac{1}{2}(x_n + \frac{7}{x_n})$

+1, сходится со страшной силой.

Почти такой же способ, только метод Ньютона знать не надо:
как найти $\sqrt{a}$? находим $\frac{x}{y}$: $\left|\sqrt{a}-\frac{x}{y}\right|=\epsilon<1$, потом берем выражение $x-y\sqrt{a}$, квадрируем $k$ раз, приравниваем 0, выражаем $\sqrt{a}$. Скорость сходимости такая же как у метода Ньютона, точность $\epsilon^{2^k}$:
$(2\sqrt{7}-5)^2=53-20\sqrt{7}$
...

[sergei1961]

А наших бабушек и дедушек (или даже пра-?) учили извлекать корень в столбик, как нас учат делить, механически. Мне кажется, это был законспирированный метод Ньютона, который тут применили, хотя я не видел подробного анализа, да и само правило есть только в нескольких старых книгах. Или есть более современные книги?

[Dmitriy40]

sergei1961 в сообщении #1182516 писал(а):

Или есть более современные книги?

В книгах не думаю, а вот в вики вполне себе есть.

[SomePupil]

DeBill в сообщении #1182325 писал(а):

и $x_2^2 - 7 = \frac{9}{4494400}\approx 0.000002$

Ого, так быстро сходится! Ничего себе.

[TOTAL]

А вот так
$x_{n+1}=x_n \cdot \frac{x_n^2 + 21}{3x_n^2 + 7}$
$x_0=\frac{8}{3}$
$x_1 = \frac{8}{3} \cdot \frac{253}{255}$
$x_1^2 - 7 = \frac{1}{585225}$