Laisant's Theorem

[maxal]

Для натуральных чисел $a,\ b,\ n$ докажите, что число

$$\frac{a^{4n+2} + b^{4n+2}}{a^2 + b^2}$$

представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел.

[Руст]

Это очевидно, так как эквивалентно $a+ib|a^{2n+1}+(-1)^nib^{2n+1}$ в кольце Гауссовых целых.

[maxal]

Руст, распишите чуток поподробнее. В частности, почему эквивалентно и как из указанной делимости следует представимость в виде суммы квадратов?

[RIP]

Если $\frac{a^{2n+1}+(ib)^{2n+1}}{a+ib}=c+id\in\mathbb Z[i]$, то $\frac{a^{4n+2}+b^{4n+2}}{a^2+b^2}=(c+id)(c-id)=c^2+d^2$.

[Руст]

Вообще то решений много. Одно из них получается так

$$c=\sum_{k=0}^na^{2n+1-2k}(-b^2)^k, \ d=\sum_{k=0}^{2n+1}b^{2n+1-2k}(-a^2)^k.$$