Доказать разрывность суммы функций

[NEvOl]

Здравствуйте, подскажите пожалуйста, как верно доказать утверждение:
если $f(x)$ - непрерывна а $g(x)$ - имеет разрыв в точке $x_0$ то тогда функция $F(x)=f(x)+g(x)$ - имеет разрыв в точке $x_0$.
Доказываю так:
предположим что $F(x)$ - непрерывна в точке $x_0$ значит $\lim\limits_{x \to x_0} {F(x)} = \lim\limits_{x \to x_0} (f(x)+g(x))=F(x_0)=f(x_0)+g(x_0)$
при этом т.к. $f(x)$ - непрерывна в точке $x_0$ то $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)$
по теореме о разности пределов функций т.к. $\lim\limits_{x \to x_0} (f(x)+g(x))$ имеет конечный предел и $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ имеет конечный предел то $\lim\limits_{x \to x_0} (f(x)+g(x)) - \lim\limits_{x \to x_0} f(x)=\lim\limits_{x \to x_0} (f(x)+g(x)-f(x))=\lim\limits_{x \to x_0} g(x)$ существует и имеет конечный предел равный $g(x_0)$ что противоречит тому что функция $g(x)$ является разрывной в точке $x_0$ значит $F(x)$ тоже разрывна в $x_0$.

Подскажите пожалуйста, верно ли решена задача (если нет, то в какую сторону двигаться) ?

[ewert]

Кажется, верно, но утверждать не могу -- слишком многословно, невозможно читать. Всё гораздо проще: если бы $F$ была непрерывной, то и $g$ должна была бы быть непрерывной как $F-f$.