Интеграл и ряд

[Tiger-OZ]

Помогите найти значения интеграла

\[ \int\limits_{ - \infty }^\infty {\operatorname{sgn} (x)e^{ixz} dz} \]

и ряда

\[ \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\operatorname{sgn} (n)e^{inz} } \]

\[ \operatorname{sgn} (x) = \frac{x} {{\left| x \right|}} \]

[Trotil]

Во втором разложить на две суммы (положительную и отрицательную) замена: $y=e^{iz}$

Получается достаточно известный ряд

[Gafield]

Преобразование Лапласа от функции Хевисайда равно $1/t$. Искомый интеграл - сумма двух таких с точностью до линейных замен.

Mathematica дает преобразование Фурье от $\mathrm{sign}\, x $ равным $\frac{i \sqrt{\frac{2}{\pi }}}{t}$. Но там еще надо разбираться, как оно определяется.

Насчет суммы - формально это вроде вопряженная к дельта-функции. А сопряжение на $\mathbb T$ дает преобразование Гильберта, его ядро $\frac1{2\pi}\ctg( x/2)$. Только с нулевым членом надо определиться, положить его равным нулю наиболее естественно.

[Tiger-OZ]

Trotil писал(а):

Во втором разложить на две суммы (положительную и отрицательную) замена: $y=e^{iz}$

Получается достаточно известный ряд

Если бесконечный ряд по sin-усам, то я его не нашёл. Ничего себе известный. Я ж не математик, поэтому и прошу помочь.
Извеняюсь. Просто пропустил замену. Спасибо.
Добавлено спустя 1 минуту 31 секунду:

Gafield
А чуть более понятным языком можно?

[Gafield]

Пусть $x$ - переменная на единичной окружности $\mathbb T$. Или можно рассматривать $2\pi$-периодические функции на $\mathbb R$. Поточечно ряд

$$ \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\operatorname{sgn} (n)e^{inx} } $$

расходится. Однако он принадлежит пространству обобщенных функций $\cal{D}'( \mathbb T)$ (сходится в нем). А именно, для любой функции $g\in C^\infty ( \mathbb T)$

$$ \lim_{n\to\infty} \int_{\mathbb T}\left(\sum_{k = - n }^n {\operatorname{sgn} (n)e^{inx}\right)g(x)dx=i\int_{\mathbb T}\ctg(x/2)g(x)\,dx, $$

где интеграл понимается в смысле главного значения. То есть, ряд задает функционал из $\cal{D}'( \mathbb T)$, определяемый правой частью.

Если формально просуммировать ряд, как предложил Trotil, то получится как раз $i\ctg(x/2)$.

[Tiger-OZ]

Правильно я понял, что переменная

\[x \in \left[ { - 1,1} \right]\]

?
Не могли бы Вы привести ссылки на литературу, в которой бы были разобраны подобные примеры?

[Gafield]

$x$ принадлежит единичной (радиуса один) окружности $\mathbb T$, это угловая переменная на ней. Или, если считать, что рассматриваются $2\pi$-периодические функции на $\mathbb R$, то $x\in\mathbb R$, а интегрирование идет по любому отрезку длиной $2\pi$. И $\ctg(x/2)$ и ряд являются $2\pi$-периодическими.

Цитата:

Не могли бы Вы привести ссылки на литературу, в которой бы были разобраны подобные примеры?

Например, что на $\mathbb T$ имеется равенство $\delta(x)=\frac1{2\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty e^{inx}$, доказывается в разделе о рядах Фурье курсов матанализа. А именно, проверяется, что для гладких $2\pi$-периодических функций $g$

$$ \lim_{n\to\infty} \left(\frac1{2\pi}\int_{\mathbb T} \sum_{k = - n }^n e^{ik(x-y)}g(y)\,dy\right)=g(x)=\int_{\mathbb T}\delta(x-y)g(y)\,dx. $$

Слева стоят ядра Дирихле. Правда, про дельта функцию там не говорят, поскольку обощенных функций еще не знают.

Если рассматривать это как равенство периодических функций на прямой, то получается

$$ \sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-2\pi n)= \frac1{2\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty e^{inx}. $$

Называется "формула суммирования Пуассона" и доказывается, например, во Владимирове "Ур. мат. физики". Что такое сопряженные функции, написано в книгах по тригонометрическим рядам и ТФДП. Равенство с котангенсом должно быть в достаточно толстых томах вроде Бари или Зигмунд "Тригонометрические ряды". В более современной форме, может, есть в Эдвардсе.

[Tiger-OZ]

Спасибо. Буду разбираться.

Добавлено спустя 57 минут 42 секунды:

Посмотрел и интеграл и сумму. Но вот сумма получилась

\[ \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\operatorname{sign} (n)\,e^{inx} } = 1 + i\operatorname{ctg} \left( {{x \mathord{\left/ {\vphantom {x 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} \right) \]

А у Вас куда делась единица?

[Gafield]

Функция $\mathrm{sign}\, x$ разрывна в нуле и по многим причинам ее удобно считать равной полусумме пределов справа и слева. Так ее обычно и определяют.

[Tiger-OZ]

Спасибо. Всё понятно.