Дифференцируемость произведения вещественнозначных функций

[loser228]

Имеем две функции, $f: R^m\to R, g: R^m\to R$, определённые на каком-то подмножестве $X\subset R^m$. Как доказать дифференцируемость произведения и частного данных функций в какой-то точке из области определения, если дано что $f $ и $g$ дифференцируемы в ней ? Может вопрос показаться глупым, но такую теорему я нашёл лишь в Зориче, а он не очень подробно расписал как это делать. Точнее там даётся отсылка к случаю функций 1 переменной и там понятно как, а вот в данном случае загвоздка. Конкретно, никак не получается доказать, что $\frac{\left\lvert L_1(h)L_2(h)\right\rvert} {\left\lvert h \right\rvert} \to 0 $ при $h\to \bar{0}$, где $h $- вектор приращения. Остальные слагаемые получились сходящиеся к 0, а вот это никак не выходит.

[Lia]

А ведь никто не знает, как Вы доказывали. Начните, пожалуйста. Так, чтобы было ясно, что получается.

[loser228]

Пытался делать так :

$(fg)(x_0+h)- (fg)(x_0) = f(x_0+h)g(x_0+h)-f(x_0)g(x_0) = (f(x_0)+L_1(h)+r_1(h))(g(x_0)+L_2(h)+r_2(h))- f(x_0)g(x_0) = f(x_0)L_2(h)+f(x_0)r_2(h)+L_1(h)g(x_0)+L_1(h)g(x_0)+L_1(h)L_2(h)+L_1(h)r_2(h)+r_1(h)g(x_0)+r_1(h)L_2(h)+r_1(h)r_2(h)$

где $h$ - вектор приращения, $x_0$ - фиксированная точка, а $L_1$ и $L_2$ - операторы дифференцирования в точке $x_0$, взятые из дифференцируемых функций f и g . далее использовал определение линейной комбинации операторов, получился оператор $(f(x_0)L_2+g(x_0)L_1)(h)$, а оставшуюся сумму хочу сделать пренебрежимо малым остатком по сравнению с $\left\lvert h \right\rvert$, то есть ограничить модуль суммы сверху бесконечно малой величиной. То есть используем неравенство треугольника для оставшихся слагаемых , деля каждое из них на $\left\lvert h \right\rvert$

[ewert]

loser228 в сообщении #1182178 писал(а):

Конкретно, никак не получается доказать, что $\frac{\left\lvert L_1(h)L_2(h)\right\rvert} {\left\lvert h \right\rvert} \to 0 $ при $h\to \bar{0}$, где $h $- вектор приращения.

Это тривиально: числитель не превосходит $\|L_1\|\cdot\|L_2\|\cdot\|h\|^2$.

И Зорич в данном случае прав (если он и впрямь так писал): случай скалярных функций векторного аргумента в этом месте ровно ничем не отличается от чисто скалярного случая с точки зрения доказательства, если не считать чёрточек.

[loser228]

А и вправду, ночью я про нормы операторов ничего не знал тогда сокращая на длину вектора приращения, получаем произведение конечных чисел (ведь линейные операторы в $R^m $ имеют конечную норму) на бесконечно малую величину и тогда искомый предел равен $0$ , так ?