Масса в пылевидном решении (ОТО).

[Erleker]

То есть тут важно, $\frac{\partial r(T,R)}{\partial R}$ или $\frac{\partial r(t,R)}{\partial R}$ .Ссылаясь на 100,23 , они автоматически имеют ввиду второе.

[Munin]

Так, понял. Щас посмотрю.

-- 05.01.2017 18:52:18 --

Вы что-то скачете между разными книгами, разными обозначениями и разными системами координат. Возможно, от этого и путаетесь. Но я вслед за вами путаться не хочу.

Напишите табличку, в которой три столбца: Зельдович-Новиков, Новиков-Фролов и Ландау-Лифшиц. В них напишите, какие буквы каким буквам соответствуют, какие формулы - каким формулам. Тогда я готов буду за вами следить. А пока лень...

[Erleker]

Да нет, причем тут Новиков?Речь сейчас только о ЛЛ-2.И координатных систем только две:
Жесткая $r,t$ и Толмена $R,T$.
Формула 100,23 в 100-м параграфе выведена для случая, когда плотность определена в жестких координатах.
А потом они ее ошибочно используют в 103, но приравнивают к верному выражению:
$4\pi\int\limits_{0}^{R_{0}}r^2p\frac{\partial r}{\partial R}dR$

P.S. Про факт, почему $r_g=F$, я теперь не спрашиваю (с этим разобрался), я теперь утверждаю, что у ЛЛ ошибка.
Видимо они забыли, что там они интегрировали с $dt=0$, а теперь у нас $dT=0$ и плотность в других координатах( тот случай,когда 2 ошибки приводят к верному результату).
А может они просто не хотели аналогично (как в 100-м) заново получать интеграл для полной массы в $R,T$, решив что можно просто "подогнать" под ответ, надеясь, что на это все равно мало кто обратит внимания.

[Munin]

Erleker в сообщении #1182097 писал(а):

Речь сейчас только о ЛЛ-2.

Понятия не имею, с какого момента это "сейчас". У них вообще нет $R,T.$ И не приведено решения Толмена.

[Erleker]

Munin в сообщении #1182100 писал(а):

Понятия не имею, с какого момента это "сейчас". У них вообще нет $R,T.$ И не приведено решения Толмена.

Ну $\tau , R $ , а не $T , R$.Я про 103. (103,1)-(103,11) и есть решение Толмена.

[Munin]

Хм. Похоже на него, хотя я всегда думал, что это решение Оппенгеймера-Волкова. Надо сравнивать...
Ладно, пусть у ЛЛ ошибка. У них бывает. (Тем более, что Ландау не был спец-том в ОТО, и вторая половина ЛЛ-2 несколько халявная...)
В других источниках - всё нормально?

[schekn]

Erleker в сообщении #1182097 писал(а):

Формула 100,23 в 100-м параграфе выведена для случая, когда плотность определена в жестких координатах.
А потом они ее ошибочно используют в 103, но приравнивают к верному выражению:

100.23 выведена путем приравнивания радиальной координаты метрик внутри вещества и вне на границе шара.
В случае синхронных координатах в пар 103 наверное было правильнее расписать так:

$$m=\iiint{\varepsilon(T,R)\sqrt{-g}dRd{\varphi}d{\theta}}$$

Это и написано перед 103.12 только завуалировано.
Это вам не нравится?
$\sqrt{-g}=r'(T,R)r^2\sin^2{\theta}$

Далее получается то, что написано у них ниже, если подставить вместо плотности 103.11.

$$8{\pi}G\varepsilon=\frac{F'}{r'r^2}$$

[Erleker]

schekn в сообщении #1182107 писал(а):

$$m=\iiint{\varepsilon(T,R)\sqrt{-g}dRd{\varphi}d{\theta}}$$

Вы же написали интеграл не для гравитационной массы, а для обычной (собственной).
И там в определителе же еще делить на $\sqrt{1+f}$

[schekn]

Erleker в сообщении #1182110 писал(а):

Вы же написали интеграл не для гравитационной массы, а для обычной (собственной).
И там в определителе же еще делить на $\sqrt{1+f}$

Значит для сопутствующей системы отсчета , когда система находится в покое на бесконечности $t=-\infty$ ($f=0$) "обыкновенная масса" и равна гравитационной. Что логично.

[Erleker]

Не понимаю, о каком $t\;-\infty$ речь.При $f=0$ гравитационная масса и обычная отличаются всегда.

[schekn]

Erleker в сообщении #1182223 писал(а):

Не понимаю, о каком $t\;-\infty$ речь.При $f=0$ гравитационная масса и обычная отличаются всегда.

Пыль покоилась в случае $t=-\infty$ , затем коллапсирует , при этом понятно, что $f=0$ и формула для гравитирующей массы совпадает с тем, что у Ландау-Лифшица. Хотя это частный случай и наверное не очень проясняет ваш вопрос.
Формула перед 103.12 без номера мне тоже не нравилась и я ее опускал без разбора.
Там есть еще один тонкий момент, почему $F(0)=0$ . У МТУ написано , что в этом случае состояние не физическое. Но я встречал и альтернативное мнение.

[Erleker]

Для того, чтобы левая часть этой формулы была верной, нужно чтобы вся пыль просто покоилась и центр был в $r=0$.То есть просто стационарная "планета". Правая же часть и ,само собой, результат верные всегда.
$F$ в центре шара равно нулю, поскольку вся материя вокруг и $r_{g}=0$.
То есть, как понимаю, $r_{g}$ определяется симметрией по шару, но сама метрика естественно - по $r$.
P.S. Сошлите на МТУ по это.

[schekn]

Erleker в сообщении #1182245 писал(а):

P.S. Сошлите на МТУ по это.

Я дам вам ссылку : МТУ 2 том, стр. 266 после формулы 23.19, но я так вижу, что это не совсем тот случай, о котором вы спрашиваете. Там обычная статическая звезда и они принимают , что $m(0)=0$ , то есть при $r=0$ . У меня же результат совпал при $f=0$ и $F(R=0)=0$ для коллапсирующей пыли, что также любопытно.