Банахова алгебра непрерывных функций на компакте

[Hasek]

Цитата:

Put $D = \{ z \in \mathbb{C}\colon |z| < 1\}$, denote the closure of $D$ by $\bar{D}$, and let $A$ be the set of continuous functions $f \colon \bar{D} \to \mathbb{C}$ such that $f$ is holomorphic on $D$.
(a) Check that $A$ (with pointwise multiplication and with the sup-norm) is a Banach algebra.
(b) Describe the space of maximal ideals of $A$.

В пункте (a) хотим проверить, что $\forall x,y \in A$ $||xy|| \leq ||x||||y||$ и что $A$ полно.

$$||f \cdot g || = \sup\limits_{x \in \bar{D}} |f(x) \cdot g(x)| \leq \sup\limits_{x \in \bar{D}} |f(x)| \sup\limits_{x \in \bar{D}} |g(x)| = ||f||||g||$$

Теперь проверяем полноту. Насколько помню, есть общее утверждение, что если в некотором открытом подмножестве $\mathbb{C}$ задана сходящаяся последовательность голоморфных функций, то она равномерно сходится к голоморфной функции на всех компактах внутри этого подмножества (если в моей формулировке есть ошибка, буду благодарен за её исправление). Таким образом, предел последовательности из $A$ лежит снова в $A$ ($A$ содержит свои предельные точки). Непрерывные функции на компакте ограничены и пространство непрерывных ограниченных функций полно, а замкнутое подмножество полного пространства само полно. Моё обоснование корректно?

(b) Насколько знаю, в непрерывных функциях на компактном пространстве $X$ любой максимальный идеал имеет вид $m_x = \{ f \colon f(x) = 0\}, ~x \in X$, то есть состоит из всех функций, имеющих общий нуль в некоторой выбранной точке. Здесь имеется в виду именно это или подразумевается какое-то более полное исследование?

[Brukvalub]

Hasek в сообщении #1182143 писал(а):

если в некотором открытом подмножестве $\mathbb{C}$ задана сходящаяся последовательность голоморфных функций

Просто "сходящихся последовательностей функций" не бывает, поскольку есть несколько типов сходимостей: слабая, поточечная, равномерная и т.п.

Hasek в сообщении #1182143 писал(а):

Насколько знаю, в непрерывных функциях на компактном пространстве $X$ любой максимальный идеал имеет вид $m_x = \{ f \colon f(x) = 0\}, ~x \in X$, то есть состоит из всех функций, имеющих общий нуль в некоторой выбранной точке. Здесь имеется в виду именно это или подразумевается какое-то более полное исследование?

Разве речь идет о всей алгебре непрерывных на компакте функций? Раз изменилась алгебра, то могли измениться и ее максимальные идеалы. На самом деле, ответ верный, а вот обоснование - хромает.

[DeBill]

Hasek в сообщении #1182143 писал(а):

если в некотором открытом подмножестве $\mathbb{C}$ задана сходящаяся последовательность голоморфных функций, то она равномерно сходится к голоморфной функции на всех компактах внутри этого подмножества (если в моей формулировке есть ошибка, буду благодарен за её исправление)

Есть. Надо: если в некотором открытом подмножестве $\mathbb{C}$ задана сходящаясяпоследовательность голоморфных функций,то она равномерно сходится к голоморфной функцииящаяся на всех компактах внутри этого подмножества, то онаравномерно сходится к голоморфной функции на всех компактах внутриэтогом подмножествае.

(Оффтоп)

Дык у вас сходимость по норме, да?

[Hasek]

Brukvalub в сообщении #1182145 писал(а):

Раз изменилась алгебра, то могли измениться и ее максимальные идеалы. На самом деле, ответ верный, а вот обоснование - хромает.

Хорошо, буду думать, почему это так и здесь.

(Оффтоп)

DeBill в сообщении #1182150 писал(а):

Дык у вас сходимость по норме, да?

Да. Благодарю за исправление!