Короткий вопрос: в любом интервале бесконечно много точек?

[Nikez]

Не считая пустого. Интервал рассматривается на вещественной прямой

[Mikhail_K]

Nikez, а Вы как думаете? и почему думаете именно так?

[Nikez]

Mikhail_K в сообщении #1182062 писал(а):

Nikez, а Вы как думаете? и почему думаете именно так?

В том-то и дело, что это вопрос определения, а не того, что я думаю
В определении написано, что интервал - это множество a<x<b
Может я эти а и b могу взять, как 1.0000... и 1.0000... бесконечность нулей ...0001 и тогда это будут соседние точки
Но интуиция и теорема о том, что между 2 вещ. числами содержится рациональное и иррациональное говорит о том, что так считать нельзя.
Вот и решил уточнить может эти точки можно пересчитать хотя бы? Тоже нигде не написано, если не считать теорему Кантора о мощности Континуума.
Так и выходит, что осознание определения приходит через другие вещи, а не через определение

[Xaositect]

Nikez в сообщении #1182065 писал(а):

Может я эти а и b могу взять, как 1.0000... и 1.0000... бесконечность нулей ...0001 и тогда это будут соседние точки

У Вас непонимание не с интервалами, а с более фундаментальными вещами.

Ответьте, пожалуйста, на вопросы:
1. Что такое соседние точки?
2. Что такое действительное число?
3. Даны 2 различных действительных числа $a$ и $b$. Назовите хотя бы одно действительное число, лежащее между ними (есть простая формула).
4. Существуют ли на действительной прямой соседние точки?

[Anton_Peplov]

Nikez в сообщении #1182065 писал(а):

1.0000... бесконечность нулей ...0001

так не бывает. Количество знаков после запятой либо конечно, либо бесконечно. Если оно конечно, там не может быть "бесконечности нулей". Если оно бесконечно, там не может быть последнего знака.

[Nikez]

Xaositect в сообщении #1182066 писал(а):

Nikez в сообщении #1182065 писал(а):

Может я эти а и b могу взять, как 1.0000... и 1.0000... бесконечность нулей ...0001 и тогда это будут соседние точки

У Вас непонимание не с интервалами, а с более фундаментальными вещами.

Ответьте, пожалуйста, на вопросы:
1. Что такое соседние точки?
2. Что такое действительное число?
3. Даны 2 различных действительных числа $a$ и $b$. Назовите хотя бы одно действительное число, лежащее между ни ми (есть простая формула).
4. Существуют ли на действительной прямой соседние точки?

1)Нет такого понятия, понял
2)Бесконечная десятичная дробь, взятая со знаком + или -(Архипов, Чубариков)
3)$(a+b)/2$

[Anton_Peplov]

Nikez в сообщении #1182069 писал(а):

3)$(a+b)/2$

ошибка в знаке.

[Mikhail_K]

Anton_Peplov в сообщении #1182070 писал(а):

ошибка в знаке.

Нету никакой ошибки.

[Nikez]

Anton_Peplov в сообщении #1182070 писал(а):

Nikez в сообщении #1182069 писал(а):

3)$(a+b)/2$

ошибка в знаке.

(-8-(-10))/2
Нет ошибки

[Mikhail_K]

Nikez в сообщении #1182069 писал(а):

Бесконечная десятичная дробь

Заметьте, что вот это -

Nikez в сообщении #1182065 писал(а):

1.0000... бесконечность нулей ...0001

- не есть бесконечная десятичная дробь.
Вот примеры бесконечных дробей: $0.3333...$, или $0.292929...$, или $3.1415926...$.
Но нельзя после бесконечного количества цифр поставить ещё одну цифру. Это будет не число, а просто бессмысленная запись.

[iifat]

Nikez в сообщении #1182074 писал(а):

(-8-(-10))/2

В предыдущем ответе — не было. А вот тут как раз таки есть.

[Munin]

Nikez в сообщении #1182061 писал(а):

Короткий вопрос: в любом интервале бесконечно много точек?

Да.

Ещё пара шокирующих фактов:
- это не просто "бесконечно много", а больше, чем другое "бесконечно много", например, больше, чем натуральных чисел;
- в любом интервале одинаковое "количество" точек (это называется "мощность множества");
- в интервале столько же точек, сколько на вещественной прямой;
- и это ещё и столько же, сколько внутри целиком закрашенного квадрата; на всей вещественной плоскости; и во всём $n$-мерном вещественном пространстве; или в $n$-мерном комплексном.

-- 05.01.2017 19:04:07 --

После того, как шок отойдёт, ещё есть неприятности:
- если взять не вещественную прямую, а только рациональные числа, то бесконечность резко становится "меньше", хотя остаётся бесконечностью (рациональных чисел в интервале - столько же, сколько натуральных чисел вообще);
- если взять произвольные функции из интервала в интервал (или из вещественной прямой в вещественную прямую), то таких функций будет "ещё больше" - уже "третья ступенька" бесконечностей, из упомянутых;
- а вот если наложить условие, что функции должны быть непрерывными (или даже некоторое более слабое условие), то таких функций будет опять "бесконечность второй ступеньки", как и вещественных чисел;
- всех функций, которые вы можете записать формулой, или описать словесно, ещё меньше - столько же, сколько натуральных чисел.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Gzkoff]

Цитата:

- если взять произвольные функции из интервала в интервал (или из вещественной прямой в вещественную прямую), то таких функций будет "ещё больше" - уже "третья ступенька" бесконечностей, из упомянутых;
- а вот если наложить условие, что функции должны быть непрерывными (или даже некоторое более слабое условие), то таких функций будет опять "бесконечность второй ступеньки", как и вещественных чисел;
- всех функций, которые вы можете записать формулой, или описать словесно, ещё меньше - столько же, сколько натуральных чисел.

Этого не знал. Интересно. Хотя первый факт, думаю, можно тривиально доказать, третий немного удивил.

[Brukvalub]

Gzkoff в сообщении #1182173 писал(а):

Этого не знал. Интересно. Хотя первый факт, думаю, можно тривиально доказать, третий немного удивил.

Так Munin здесь проврался, поэтому вы и не знали.
Вот я опишу словесно "произвольная определенная на числовой прямой функция", и получу противоречие между его высказываниями:

Munin в сообщении #1182095 писал(а):

если взять произвольные функции из интервала в интервал (или из вещественной прямой в вещественную прямую), то таких функций будет "ещё больше" - уже "третья ступенька" бесконечностей, из упомянутых;

и

Munin в сообщении #1182095 писал(а):

всех функций, которые вы можете записать формулой, или описать словесно, ещё меньше - столько же, сколько натуральных чисел.