Асимптотика частичной суммы ряда Фурье

[profrotter]

Требуется найти каким условиям должны удовлетворять коэффициенты суммы при выполнении равенства: $\lim\limits_{T\to 0}\frac{\sum\limits_{n=-N}^{N}C_ne^{i\omega nT}}{T}=i\omega$.
При малых $T$ представим $e^{i\omega n T}\approx 1+i\omega nT$, тогда $\lim\limits_{T\to 0}\frac{\sum\limits_{n=-N}^{N}C_ne^{i\omega nT}}{T}=\lim\limits_{T\to 0}\frac{\sum\limits_{n=-N}^{N}C_n+\sum\limits_{n=-N}^{N}C_ni\omega nT}{T}$. Для выполнения заданного равенства можно выбрать коэффициенты так, чтобы $\sum\limits_{n=-N}^{N}C_n=0$ и $\sum\limits_{n=-N}^{N}nC_n=1$.

Посмотрите пожалуйста нет ли какого безобразия в рассуждениях?

Можно ли быть уверенным, что коэффициенты $C_n$ не могут быть выбраны каким-либо ещё, не указанным здесь, способом?

Нет ли какого способа убедиться в единственности или найти другие условия для коэффициентов?

[Slav-27]

Нормально всё. Чтобы совсем всё стало понятно, можно расписать

$\lim\limits_{T\to 0}\frac{\sum\limits_{n=-N}^{N}C_ne^{i\omega nT}}{T}=\lim\limits_{T\to 0}\frac{1}{T}\left(\sum\limits_{n=-N}^{N}C_n+\sum\limits_{n=-N}^{N}C_n(\cos n\omega T -1 )+i\sum\limits_{n=-N}^{N}C_n \sin n\omega T\right)$: 2-е и 3-е слагаемое имеют понятно какой предел.

[sergei1961]

Может Лопиталем сразу?

[mihiv]

Сумма частичная, то есть предполагается, что $N$ может меняться? Но тогда могут нарушиться условия на коэффициенты.

[sergei1961]

Так Лопиталем к исходной дроби-получается или нет?

[mihiv]

sergei1961 в сообщении #1181764 писал(а):

Так Лопиталем к исходной дроби-получается или нет?

Получается, конечно. Но для Лопиталя нужно, чтобы числитель дроби $\to 0$. Это как раз дает 1-е условие: $\sum \limits _{-N}^{N}C_n=0$.

[profrotter]

Спасибо всем, кто откликнулся, но сомнения мои не развеялись.

Сейчас для меня логика выглядит так, что если выполняются условия $\sum\limits_{n=-N}^{N}C_n=0$ и $\sum\limits_{n=-N}^{N}nC_n=1$, то $\lim\limits_{T\to 0}\frac{\sum\limits_{n=-N}^{N}C_ne^{i\omega nT}}{T}=i\omega$.

А вот в обратную сторону у меня не получается логики. По моему пути или по пути Slav-27 от предела суммы ведь честно нельзя перейти к сумме пределов, когда предела одного из слагаемых нет, но это и не означает что предела всей суммы нет. То же самое с правилом Лопиталя - неопределённость нужно подогнать. А так хотелось бы доказать, что и из выполнения $\lim\limits_{T\to 0}\frac{\sum\limits_{n=-N}^{N}C_ne^{i\omega nT}}{T}=i\omega$ следует единственный выбор $\sum\limits_{n=-N}^{N}C_n=0$ и $\sum\limits_{n=-N}^{N}nC_n=1$.

Или я всё же не прав?

[Red_Herring]

profrotter в сообщении #1182017 писал(а):

Или я всё же не прав?

Неправы. Поскольку Ваша сумма есть $A+i\omega BT+O(T^2)$, где$ A=\sum C_n$ , $B=T\sum nC_n$, и епредел существует и равен $i\omega$, тогда и только тогда когда $A=0, B=1$

[profrotter]

Спасибо. Значит всё гораздо лучше, чем я думал!

[sergei1961]

Хочу ещё поупорствовать с пр. Лопиталя. Мне кажется, оно даёт не одно, а два условия, которые нужны. Раз есть предел, то числитель тоже стремится к нулю-первое условие на коэффициенты. Применяем правило, то, что предел равен заданному числу,-второе условие на коэффициенты. Не так?
Кстати, в Зориче есть усиленные варианты пр.Л., в них от числителя вообще ничего не надо. Возможно тут можно применить, чтобы получить более слабые условия и покрасоваться.