2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Критерий для подходящей дроби
Сообщение01.01.2017, 22:25 
Аватара пользователя


04/10/15
271
Доброго времени, уважаемые форумчане.
Читаю некоторые лекции по цепным дробям и наткнулся на эту теорему [в оффтопе сама картинка текста]

(Оффтоп)

Изображение

Собственно, вопрос:
Мне всё понятно до случая $|p-q\alpha| \ge |p_n-q_n\alpha|$. Откуда берётся "следовательно $|p_n-q_n\alpha| \ge \dfrac{1}{2q}$"?. Ведь дробь $\frac{p}{q}$ удовлетворяют условию теоремы, тогда имеем $$\dfrac{1}{2q} > |p-q\alpha| \ge |p_n-q_n\alpha|$$, то есть совершенно противоположный вывод. Или предполагается док-во от противного, то есть для $\frac{p_n}{q_n}$, которая является подходящей дробью предположим, что условие теоремы не выполнено и получим противоречие? Но тогда это не вяжется с следующей строчкой, где оценивается сумма расстояний от дробей до нашего иррационального числа.
Как это, собственно, правильно понимать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий для подходящей дроби
Сообщение02.01.2017, 16:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
823
матмех спбгу
Выкиньте такие лекции куда подальше :D Опечатки через каждую букву.
А так, после слов "Следовательно, " все $\geq$ надо заменить на $\leq$ и будет Вам доказательство :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий для подходящей дроби
Сообщение02.01.2017, 16:38 
Аватара пользователя


04/10/15
271
demolishka в сообщении #1181434 писал(а):
А так, после слов "Следовательно, " все $\geq$ надо заменить на $\leq$ и будем Вам доказательство

У меня получилось так: $$|\dfrac{p}{q}-\dfrac{p_n}{q_n}| \le |\dfrac{p}{q}-\alpha|+|\dfrac{p_n}{q_n}-\alpha| < \dfrac{1}{2q^2}+\dfrac{1}{2q_nq}<\dfrac{1}{qq_n}$$
И тогда $$|\dfrac{p}{q}-\dfrac{p_n}{q_n}|=\dfrac{|pq_n-qp_n|}{qq_n}<\dfrac{1}{qq_n}$$ и тогда $|qp_n-pq_n|<1$
Там написано "и знаменатель либо 0", наверное, подразумевается, что "числитель либо 0", но нулём он быть не может по условию, а вот тут уже мы получаем противоречие. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий для подходящей дроби
Сообщение02.01.2017, 16:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
823
матмех спбгу
iou в сообщении #1181438 писал(а):
но нулём он быть не может по условию, а вот тут уже мы получаем противоречие. Верно?

Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий для подходящей дроби
Сообщение02.01.2017, 17:06 
Аватара пользователя


04/10/15
271
demolishka, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: ilghiz


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group