Критерий для подходящей дроби

[iou]

Доброго времени, уважаемые форумчане.
Читаю некоторые лекции по цепным дробям и наткнулся на эту теорему [в оффтопе сама картинка текста]

(Оффтоп)

Собственно, вопрос:
Мне всё понятно до случая $|p-q\alpha| \ge |p_n-q_n\alpha|$. Откуда берётся "следовательно $|p_n-q_n\alpha| \ge \dfrac{1}{2q}$"?. Ведь дробь $\frac{p}{q}$ удовлетворяют условию теоремы, тогда имеем

$$\dfrac{1}{2q} > |p-q\alpha| \ge |p_n-q_n\alpha|$$

, то есть совершенно противоположный вывод. Или предполагается док-во от противного, то есть для $\frac{p_n}{q_n}$, которая является подходящей дробью предположим, что условие теоремы не выполнено и получим противоречие? Но тогда это не вяжется с следующей строчкой, где оценивается сумма расстояний от дробей до нашего иррационального числа.
Как это, собственно, правильно понимать?

[demolishka]

Выкиньте такие лекции куда подальше Опечатки через каждую букву.
А так, после слов "Следовательно, " все $\geq$ надо заменить на $\leq$ и будет Вам доказательство

[iou]

demolishka в сообщении #1181434 писал(а):

А так, после слов "Следовательно, " все $\geq$ надо заменить на $\leq$ и будем Вам доказательство

У меня получилось так:

$$|\dfrac{p}{q}-\dfrac{p_n}{q_n}| \le |\dfrac{p}{q}-\alpha|+|\dfrac{p_n}{q_n}-\alpha| < \dfrac{1}{2q^2}+\dfrac{1}{2q_nq}<\dfrac{1}{qq_n}$$

И тогда

$$|\dfrac{p}{q}-\dfrac{p_n}{q_n}|=\dfrac{|pq_n-qp_n|}{qq_n}<\dfrac{1}{qq_n}$$

и тогда $|qp_n-pq_n|<1$
Там написано "и знаменатель либо 0", наверное, подразумевается, что "числитель либо 0", но нулём он быть не может по условию, а вот тут уже мы получаем противоречие. Верно?

[demolishka]

iou в сообщении #1181438 писал(а):

но нулём он быть не может по условию, а вот тут уже мы получаем противоречие. Верно?

Да.

[iou]

demolishka, спасибо!