Квантовая механика

[Gzkoff]

Решил разобраться в началах квантовой механики по ФЛФ и "Алгебре" Кострикина, Манина. Сразу же возникли вопросы:
1) Правильно я понимаю, что запись $\left\langle\psi\mid\varphi\right\rangle$ означает, что частица находящаяся в состоянии $\varphi$ спонтанно коллапсирует в состояние $\psi$ при измерении, при этом квадрат модуля является вероятностью такого коллапса, $\psi$ и $\varphi$ — это векторы состояния. В свою очередь волновая функция — это $\left\langle{x}\mid\varphi\right\rangle$, где $x$ пробегает все векторы состояния, и квадрат модуля от этой функции — вероятность того, что частица, находившаяся в состоянии $\varphi$ перейдёт в состояние $x$. Квадрат модуля $\left\langle\varphi\mid\varphi\right\rangle$ будет единицей как вероятность того, что мы обнаружим частицу с состоянием $\varphi$ в этом же состоянии, то есть, что состояние её не поменяется при измерении? (как такое возможно?) Фейнман пишет: "Раз мы определили $\psi(x)$ как амплитуду того, что электрон в состоянии $\psi$ обнаружится в точке х, то хотелось бы интерпретировать квадрат абсолютной величины $\psi$ как вероятность обнаружить электрон в точке х. Но, к сожалению, вероятность обнаружить электрон в точности в каждой данной точке равна нулю. Электрон в общем случае размазывается по какому-то участку прямой, и поскольку точек на каждом участке бесконечно много, то вероятность оказаться в любой из них не может быть конечным числом." Почему же мы тогда можем определять вероятность нахождения электрона в каждой точке пространства посредством бра-кет формализма, но не можем этого требовать от волновой функции, и должны трактовать её как плотность вероятности?
2) В учебнике Кострикина, Манина написано, что вектор состояния, зависящий от времени, определяется как $\psi(t)=e^{-iHt}\psi$ Но ведь мы определяем, что вектор состояния, помноженный на константу, будет в точности тем же самым вектором состояния?

[Metford]

Gzkoff в сообщении #1180279 писал(а):

Но ведь мы определяем, что вектор состояния, помноженный на константу, будет в точности тем же самым вектором состояния?

Это утверждение нужно ещё как следует поправить, чтобы оно стало правильным. Но и тут ведь не умножение на константу! Что такое здесь $H$ по-Вашему?

[Gzkoff]

Metford
На счёт того, что это не умножение на костанту, я понял, однако как нужно поправить моё утверждение, чтобы оно было правильным? В Иванове написано: "Принято считать, что волновая функция определена с точностью до произвольного ненулевого комплексного множителя, т. е. волновые функции ψ и cψ (где c = 0 — произвольная комплексная константа) описывают одинаковые состояния квантовой системы." И почему мы можем определять вероятность нахождения электрона в каком-то конкретном состоянии в формализме Дирака, но в случае с волновой функцией можем говорить лишь о плотности вероятности?

[Metford]

Gzkoff в сообщении #1180307 писал(а):

На счёт того, что это не умножение на костанту, я понял, однако как нужно поправить моё утверждение, чтобы оно было правильным?

Добавить, что эта константа должна быть равна по модулю единице, т.е. иметь вид $e^{i\alpha}$. В фазе может быть отличие.

(Оффтоп)

Кстати, не советую писать букву "пси" так, как Вы это сделали. Заругають.

Насчёт Фейнмана я понял, что Вы его читали. А вот бра- и кет-векторы и обращение с ними Вы по чему изучали?

[Munin]

Gzkoff в сообщении #1180279 писал(а):

В свою очередь волновая функция — это $\left\langle{x}\mid\varphi\right\rangle$, где $x$ пробегает все векторы состояния, и квадрат модуля от этой функции — вероятность того, что частица, находившаяся в состоянии $\varphi$ перейдёт в состояние $x$.

Нет, буквой $x$ обозначаются не любые векторы состояния, а именно собственные состояния оператора координаты. Так что $\langle x\mid\varphi\rangle\equiv\varphi(x)$ в "функциональных" обозначениях типа ЛЛ-3.

Gzkoff в сообщении #1180279 писал(а):

Квадрат модуля $\left\langle\varphi\mid\varphi\right\rangle$ будет единицей как вероятность того, что мы обнаружим частицу с состоянием $\varphi$ в этом же состоянии, то есть, что состояние её не поменяется при измерении? (как такое возможно?)

Такое возможно, если $\varphi$ не только состояние частицы, но и собственное состояние измерительного прибора. Например, частица находится в состоянии "спин вверх", а прибор как раз измеряет спин в проекции на вертикальную ось, и умеет выдавать ответы "спин вверх" и "спин вниз".

Gzkoff в сообщении #1180279 писал(а):

Почему же мы тогда можем определять вероятность нахождения электрона в каждой точке пространства посредством бра-кет формализма, но не можем этого требовать от волновой функции

Посредством бра-кет формализма - тоже не можем. Дело в том, что символ $\langle x\mid$ - "не настоящий", и должен пониматься именно в смысле плотности состояний - то есть, имеет смысл только некий интеграл $\int dx\,\langle x\mid\ldots$ Просто в бра-кет виде этот факт более замаскирован.

Gzkoff в сообщении #1180279 писал(а):

В учебнике Кострикина, Манина написано, что вектор состояния, зависящий от времени, определяется как $\psi(t)=e^{-iHt}\psi$ Но ведь мы определяем, что вектор состояния, помноженный на константу, будет в точности тем же самым вектором состояния?

Вы смотрите на $e^{-i\ldots},$ и думаете, что это число такое, по модулю равное единице. Но увы, от этой привычки надо отвыкать! В показателе там стоит $H$ - оператор! (В других учебниках приучают операторы даже обозначать иначе, типа $\widehat{H}.$) И экспонента от него - жутко сложная штука, и на самом деле она тоже получается оператор, который поворачивает вектор состояния в пространстве состояний.

-- 27.12.2016 00:10:48 --

Gzkoff в сообщении #1180307 писал(а):

В Иванове написано: "Принято считать, что волновая функция определена с точностью до произвольного ненулевого комплексного множителя, т. е. волновые функции ψ и cψ (где c = 0 — произвольная комплексная константа) описывают одинаковые состояния квантовой системы."

Можно обращаться с волновыми векторами двумя способами:
- всегда накладывать условие нормировки (то самое $\langle\varphi\mid\varphi\rangle=1$), и допускать умножение только на множители, единичные по модулю;
- допускать любые ненулевые константные множители, но тогда постоянно нормировать волновой вектор, то есть во всех формулах вылезают знаменатели $\langle\varphi\mid\varphi\rangle.$

Первый способ удобнее, и более общепринятый. Второй "концептуальнее", и его могут употреблять там, где не пишут много формул, и не проводят много вычислений.

[Metford]

В общем, не дожидаясь ответа (раз уж Munin дал уже развёрнутое объяснение), обозначения Дирака, пожалуй, неплохо бы прочитать у самого Дирака в его "Принципах квантовой механики".

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1180330 писал(а):

Посредством бра-кет формализма - тоже не можем. Дело в том, что символ $\langle x\mid$ - "не настоящий", и должен пониматься именно в смысле плотности состояний - то есть, имеет смысл только некий интеграл $\int dx\,\langle x\mid\ldots$ Просто в бра-кет виде этот факт более замаскирован.

Вот поэтому я недавно и высказывался в пользу функционального анализа в соответствующей теме...

[Munin]

Я бы сказал, что функан здесь всё-таки похож на анекдот

В зоопарке табличка:
"Страусов не пугать! Пол бетонный."

Мой совет другой: изучать КМ ни в коем случае не только по ФЛФ. Стоит всё-таки параллельно брать и традиционный учебник типа ЛЛ-3, или по крайности Мессиа.

Кстати, в ЛЛ-3 надо обратить особое внимание на параграф про представления Шрёдингера и Гейзенберга. Потому что иначе можно напороться на несоответствие формул в разных учебниках. ФЛФ написаны целиком в представлении Гейзенберга, а в большинстве остальных учебников по КМ за основу взято представление Шрёдингера. Например, $\langle\varphi\mid\psi\rangle_\mathrm{H}=\langle\varphi\mid e^{-iHt}\mid\psi\rangle_\mathrm{Sch}.$ Кстати, в КТП ситуация меняется, и именно представление Гейзенберга становится общепринятым.

[Gzkoff]

Munin
Спасибо большое за развёрнутый ответ. Стало гораздо понятнее.
Metford
Про бра-кет формализм читал всё в том же Кострикине-Манине. Буду изучать ЛЛ и Мессиа. Надеюсь, меньше путаницы будет в голове.

[Metford]

И всё-таки в упомянутую мной книгу Дирака тоже загляните - по крайней мере, в первые параграфы, где про формализм рассказывается. Много времени не займёт, но полезно будет точно.

[Gzkoff]

Прошу прощения за поднятие темы. Решил, что нет смысла создавать новую.
Разбираюсь с уравнением Шрёдингера. Однако хочу для себя кое-что уяснить, в чём немного запутался.
Есть у нас уравнение Шрёдингера в общем виде для волновой функции $\Psi(x,t)$:
${i}\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial{t}}=\widehat{H}\Psi$
Допустим я хочу решить его для случая, когда свободная частица имеет импульс ${p}$.
Тогда я решаю такое уравнение ${i}\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial{t}}=\frac{(p^2)\Psi}{2m}$?
А если хочу решить для свободной частицы обладающей энергией E, то такое ${i}\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial{t}}={E\Psi}$?
Если да, то какие решения будут в этих случаях? (Плохо знаю теорию дифференциальных уравнений. Наверное надо будет подучить) Читал Ландау, но путаюсь в формулах.
Даёт ли нам решение такого уравнения ${E}\Psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial\Psi}{\partial{x}}$ волновую функцию для свободной частицы с энергией ${E}$?

[Gzkoff]

Разобрался немного. Как я понял решение первого уравнения будет идентично решению второго и равно $\Psi=A\exp(-i(Et-px)/\hbar)$, при этом $E=p^2/2m$
Остаётся открытым второй вопрос. Чем отличается решение последнего уравнения от того, что я написал выше (да и само уравнение, чем отличается от остальных).

-- 02.01.2017, 07:49 --

Как я вижу решение последнего уравнения даёт нам функцию, не зависящую от времени $\Psi=A\exp(ix\sqrt{2mE}/\hbar)$ Домножением на временной множитель она превращается в то, что является решением предыдущего уравнения.
То есть как я понял, последний вид уравнения Шрёдингера справедлив только для состояний, которые не зависят от времени.
Поправьте, если я не прав в чём-то.

[Munin]

Gzkoff в сообщении #1181366 писал(а):

Допустим я хочу решить его для случая, когда свободная частица имеет импульс ${p}$.
Тогда я решаю такое уравнение ${i}\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial{t}}=\frac{(p^2)\Psi}{2m}$?
А если хочу решить для свободной частицы обладающей энергией E, то такое ${i}\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial{t}}={E\Psi}$?

Не с того конца заходите.

Вам надо научиться различать физическую систему, и её отдельные состояния. Например, пружинный маятник - это система, а конкретный набор положения и скорости - его состояние. Такое же различие есть и в других разделах физики.

Так вот, в ваших словах, "свободная частица" - это описание системы, а то, что она "имеет импульс" или "обладает энергией" - это описание состояния.

Уравнение Шрёдингера записывается для некоторой системы. Для разных систем будут разные УШ. Для одной и той же системы - одно и то же УШ, в каких бы состояниях она ни была.

А вот конкретное решение уравнения Шрёдингера - это уже конкретное состояние квантовомеханической системы.

----------------

Теперь, для свободной частицы (в одномерном случае) мы знаем гамильтониан (можем списать из книжки пока, хотя потом нам надо научиться писать их самому):

$$\widehat{H}=\dfrac{\widehat{p}^2}{2m}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2},$$

и при подстановке его в уравнение Шрёдингера получается:

$$i\hbar\dfrac{\partial\Psi}{\partial t}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}.$$

Вот это уравнение уже надо решать. Решение данного уравнения уже будет состоянием частицы.

Знаете ли вы, как решаются такие уравнения (уравнения с частными производными)?

Решений данного уравнения очень много. Бесконечномерное пространство решений - вот сколько! Их можно описать все, конечно же, и это проделывается в учебниках по уравнениям математической физики. Такое описание, например, расскажет абсолютно всё о движении свободной частицы. Однако для физиков, особенно для студентов, это слишком много сразу, хотелось бы чего-то более простого и конкретного. Оказывается, среди этих решений можно выбрать решения, имеющие определённый импульс $p.$

Внимание! Такое бывает не со всеми физическими системами, и не со всеми уравнениями Шрёдингера, а только с некоторыми.

Оказывается, что для того, чтобы найти такие решения, нам нужно решить совсем другое уравнение: уравнение на собственную функцию оператора импульса

$$\widehat{p}\Psi=p\Psi.$$

И решением этого уравнения будут как раз указанные вами экспоненты $\Psi=A\exp(-i(Et-px)/\hbar).$ И удивительным образом, эти решения, если их подставить, будут также решениями и уравнения Шрёдингера, и дадут ответ на ваш вопрос. То есть, само уравнение Шрёдингера не понадобилось решать. Однако, если бы мы его решали, то во всём огромном множестве его решений можно было бы выбрать и вот эти вот.

----------------

Если же мы захотим среди решений уравнения Шрёдингера выбрать решения, имеющие определённую энергию, то нам надо решать уравнение на собственную функцию оператора Гамильтона:

$$\widehat{H}\Psi=E\Psi.$$

Того же самого гамильтониана, который был написан выше. И это опять ещё одно новое уравнение. Оно тоже называется уравнением Шрёдингера, но стационарным (а первое - нестационарным). Так вот. Его решения будут немного богаче, чем вы написали:

$$\Psi=A_1\exp(-i(Et-px)/\hbar)+A_2\exp(-i(Et+px)/\hbar).$$

Это связано с тем, что частица с одной и той же энергией может иметь два значения импульса (поскольку соотношение $E=p^2/2m$ - это квадратное уравнение на импульс), то есть она может двигаться по прямой либо слева направо, либо справа налево.

[Gzkoff]

Munin
Спасибо огромное. То есть мои выражения - ${i}\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial{t}}=\frac{{p^2}\Psi}{2m}$, ${i}\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial{t}}={E\Psi}$ - не имеют никакого смысла, а имеют смысл лишь уравнение ${i}\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial{t}}=\hat{H}\Psi$, для которого мы можем задавать гамильтониан в каждом отдельном случае и которое даёт нам бесконечно много решений (в том числе и те, которые могут быть суперпозицией состояний с различными значениями энергии), и стационарные уравнения $\hat{H}\Psi=E\Psi$, $\hat{p}\Psi={p}\Psi$, дающие нам в качестве решения собственные волновые функции гамильтониана? (и которые тем не менее тоже носят имя Шрёдингера) Видимо должно пройти время, чтобы всё это переварить.

Цитата:

Знаете ли вы, как решаются такие уравнения (уравнения с частными производными)?

Нет. У меня не было многих вещей, которые проходят физики. В том числе уравнений математической физики. Я на химическом учусь, в квантовой механике решил разобраться, потому что стало интересно. Был матанализ и линейная алгебра. С дифференциальными уравнениями неглубоко знаком, знаю лишь простейшие их типы. Однако если что-то необходимо, готов изучать. Сейчас параллельно разбираюсь в теории групп.

А есть ли смысл решать первое уравнение Шрёдингера? (нестационарное) И в каких случаях это делают?

[Slav-27]

Gzkoff в сообщении #1181741 писал(а):

То есть мои выражения - ${i}\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial{t}}=\frac{{p^2}\Psi}{2m}$, ${i}\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial{t}}={E\Psi}$ - не имеют никакого смысла

Математического смысла они имеют: это какие-то уравнения, их можно решать. Решением первого, например, будут функции вида $\Psi(x,t)=e^{-i\frac{p^2}{2m\hbar}t}\Psi_0(x)$$, где $\Psi_0(x)$ -- произвольная функция $x$. (Я подразумеваю, что $\Psi$ у вас обозначает волновую функцию $\Psi(x,t)$.) Но какое отношения они имеют к физике?

Gzkoff в сообщении #1181741 писал(а):

имеют смысл лишь уравнение ${i}\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial{t}}=\hat{H}\Psi$, для которого мы можем задавать гамильтониан в каждом отдельном случае и которое даёт нам бесконечно много решений (в том числе и те, которые могут быть суперпозицией состояний с различными значениями энергии),

А это уравнение -- уравнение Шрёдингера для квантовой системы с гамильтонианом $\hat H$; оно позволяет найти состояние системы в момент времени $t$, если известно её состояние в начальный момент времени. Не любое решение этого уравнения будет возможной волновой функцией системы: по крайней мере требуется, чтобы волновая функция была нормируема. Может, действительно, оказаться, что состояние в момент времени $t$ не является состоянием с определённым значением энергии, и в таком случае оно является суперпозицией состояний с различными значениями энергии.

Gzkoff в сообщении #1181741 писал(а):

стационарные уравнения $\hat{H}\Psi=E\Psi$, $\hat{p}\Psi={p}\Psi$, дающие нам в качестве решения собственные волновые функции гамильтониана? (и которые тем не менее тоже носят имя Шрёдингера)

Стационарным уравнением Шрёдингера называется только первое из этих уравнений, причём только тогда, когда гамильтониан системы $\hat H$ не зависит явно от времени (такие системы называются консервативные). Именно это уравнение даёт в качестве решений собственные функции гамильтониана (соответствующие состояниям с определённым, равным $E$, значением энергии). Второе уравнение даёт собственные функции оператора импульса (с собственным значением $p$).

[Gzkoff]

Slav-27, спасибо за объяснение. Подожду пока всё это уложится в голове. Продолжу читать ЛЛ, надеюсь, привыкну к таким вещам со временем. Может на конкретных примерах квантовых систем станет понятнее.