Тройка чисел

[rightways]

Существуют ли натуральные числа $a,b,c,d$ для которых
1) $c|ab$
2) $d^2<a,b,c<d^2+d+3\sqrt{d}$
?

[gris]

$5,5,5,2$ или $18,20,24,4$.
Наверное, выражение $c|ab$ надо понимать не как $c$ делит $ab$, а наоборот.
Но если $ab|c$, то подойдёт $2,2,4,1$. Впрочем, это единственное решение для такого случая.
Что-то я не так понял

[rightways]

А что если a,b,c различны?

-- 31.12.2016, 00:20 --

Я имел ввиду $ab$ делится на $c$. А что неправильно я написал?

[gris]

Вы правильно написали. Но в такой формулировке задача слишком проста. Даже если добавить требование различности чисел, пример привести легко, и я его привёл. (В случае, если требование было бы $ab|c$ то решений не будет, только одно с совпадением).
Но задача интересна. Только лучше её так поставить: для каких натуральных $d$ существуют различные натуральные $a,b,c$ такие, что $c|ab$. Для $d=1$ решений нет. Слишком маленький интервал. Для $d=2$ решение $5,6,10,2$ или $5,8,10,2$. А потом начинается интересное. Для $d=3..8$ можно явную формулу привести. Совсем чуть-чуть подаказывать надо. А вот дальше на основе этой формулы можно и для других $d$ подумать Но там чуть сложнее. Правда не сложнее квадратичных неравенств.

[rightways]

Для d=1 решение есть

[gris]

Ну да, есть решение $3,4,2,1$. Я с чего-то решил, что $a<b<c$ .
Ну так в чём задача? Доказать, что для каждого $d$ есть решение? Или найти $d$, для которых троек нет? Или показать, что количество четвёрок — кстати, почему в названии "тройки" — бесконечно?

[rightways]

Надо найти наибольшее такое $d$.

[gris]

Ну, Слава Основателю, 2017 ещё допускает существование тройки, с чем нас и поздравляю
(хотя почему "ещё"? Для "ещё" надо условие на $d$ пошевелить).