Аглоритмы, минимизация функционала на множестве N_0

[HappyNewYear]

Добрый день.
Возникла необходимость запрограммировать следующую задачу.
Пусть $A$ -- некоторая "большая" матрица (примерно 30000 строк и 10 столбцов). $b$ -- свободный член. $A$ и $b$ состоят из целых неотрицательных чисел.
Дан функционал $F(x) = i$, где $i$ -- индекс последнего ненулевого элемента вектора $x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$.
Нужно найти $\underset{Ax = b, \,x \in \mathbb{N}^n}{\min}{F(x)}$. Не обязательно даже точное решение задачи, подойдет и просто маленькое значение функционала (определение "маленького значения" не могу дать, малость определяется исходя из начальной задачи).
Думаю, это нечто близкое задаче линейного программирования, существуют обобщения на целочисленные вектора. Но в ЗЛП минимизируется функционал $c^Tx$. Пытался заменять свой функционал на подобный, но ничего умнее, чем взять $c = (1^\alpha, 2^\alpha, \dots, n^\alpha)$, решать сотни ЗЛП и смотреть на $F(x)$ не придумал.
Возможно, существует более действенный метод минимизации?
Заранее благодарю.

[mserg]

Задача подозрительная: 30000 ограничений в виде равенств, и всего 10 переменных, к тому же, целочисленных... Может наоборот, 30000 переменных и 10 ограничений?

В любом случае, формально, задача может быть линеаризована с помощью дополнительных целочисленных переменных. Пусть $y_i$ -псевдобулева переменная, для которой выполняется условие
$M y_i\ge x_i$
Здесь $M$ - большое целое число. Т.е., если $x_i$ больше нуля, то $y_i$ - тоже будет больше нуля.
Получаем задачу
$z \rightarrow min$
при условиях $iy_i\ge z$ (ну, и изначальные ограничения не забываем)