2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 17:44 
Аватара пользователя
Vince Diesel в сообщении #1181036 писал(а):
то она должна убывать до нуля на $[1/2,1]$, $f''(x)=-C$

она как была, так и осталась... выпуклость не менялась
производная РАСТЕТ до нуля

 
 
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 17:45 
Хотя, пожалуй, нет: гладкости в $x=1$ это не обеспечит.

 
 
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 18:31 
alcoholist в сообщении #1181041 писал(а):
она как была, так и осталась... выпуклость не менялась

Не понял. Для условия $|f''|\le C$ получается $f''(x)=C$ при $0<x<1/2$ и $f''(x)=-C$ при $1/2<x<1$,
$$
f(x)=
\begin{cases}
 \frac{Cx^2}{2} & 0<x\leq \frac{1}{2} \\
 \frac{C}{4} \left(-2 x^2+4 x-1\right) &  \frac{1}{2}<x\leq 1
\end{cases}
$$
и $f(1)=C/4$ а не $f(1)=C/2$, как в случае постоянного роста $f'$ на $[0,1]$.

 
 
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 18:35 
Сформулируем задачу как задачу оптимального перемещения точки единичной массы ограниченной силой:
$\dot x_1=x_2, \quad \dot x_2=u;$
$x_1(0)=x_2(0)=x_1(2)=x_2(2)=0;$
$\int_0^2{x_1(t)dt}\to \max_u, \quad |u|\le C$
Можно применить принцип максимума и получить строгое решение. Но мне представляется очевидным, что задача сводится к задаче перемещения точки за время $t=1$ на максимальное расстояние $x_1(1)$ с нулевой конечной скоростью $x_2(1)=0$ и симметричному возвращению точки в нулевое состояние. И оптимальный закон управления имеет вид $u^*=C$ при $0\le t<0.5$, $u^*=-C$ при $0.5\le t<1.5$, $u^*=C$ при $1.5\le t<2$, а искомая оптимальная функция $x^*_1(t)$ имеет вид гладкого колокола, составленного из парабол. Максимальное значение $\int_0^2{x^*_1(t)dt}=0.25C$.

 
 
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 18:49 
Аватара пользователя
Vince Diesel в сообщении #1181049 писал(а):
Для условия $|f''|\le C$

Откуда это условие? Почему отрезок $[0;1]$? Лень в уме на двойки умножать-делить...

 
 
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение30.12.2016, 18:51 
На $[1,2]$ симметрично.

 
 
 
 Re: Максимальная площадь
Сообщение31.12.2016, 10:11 
Аватара пользователя
Именно парабола - и только она - в любой точке точно равна в своей второй производной заданной константе. А значит, и площадь будет максимальна. Любая иная функция "срезает" на графике - касательной второй производной - часть этой площади.

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group