Ортогональное отражение

[malykh89]

Подскажите, как доказать, что ортогональное отражение в пространстве L, является или нет ортогональным преобразованием.

[Brukvalub]

Проверьте линейность этого преобразования и сохранение длин при его действии.

[malykh89]

А поподробнее? Мне по условию сказано, что некий оператор А - отражение, т.е. А^2=1. Если А - ортогональное преобразование, то (х,х)=(А(х),А(х)). Я не понимаю, что значит ортогональное отражение. И потом как это все связать?

[Профессор Снэйп]

А пространство конечномерное или не важно?

[malykh89]

конечномерное

[Профессор Снэйп]

Что такое отражение действительно не понятно.

Я вначале подумал, что $A$ называется отражением, если $A^2 = E$. Но вот возьмём

$$ A = \left( \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1/2 & 0 \end{array} \right) $$

Что-то не похоже преобразование, задаваемое матрицей $A$, на какое-то "отражение от чего-то".

[malykh89]

А - вообще-то, оператор, а не его матрица. Скажем, I-единичный оператор, не единичная матрица. Тогда композиция операторов А и А есть оператор А^2, причем А^2=I. Это есть отражение. А что такое ортогональное отражение?

[Henrylee]

malykh89 писал(а):

А - вообще-то, оператор, а не его матрица. Скажем, I-единичный оператор, не единичная матрица.

А Вы что, усматриваете какую-то принципиальнцю разницу между линейным оператором в конечномерном пространстве и матрицей ?

[Brukvalub]

malykh89 писал(а):

Скажем, I-единичный оператор, не единичная матрица.

Беда в том, что матрица единичного оператора в любом базисе будет единичной. Возможно, ортогональное отражение - это аналог осевой симметрии, только производимой относительно гиперпплоскости, имеющей на 1 меньшую размерность, чем само пространство. Тогда необходимо разложить вектор в сумму его проекции на эту гиперплоскость и ортогонального к этой компоненте дополнения и результатом отображения считать вектор, противоположный к этой компоненте дополнения. Иного смысла в термине

malykh89 писал(а):

ортогональное отражение в пространстве L

я не нахожу

[malykh89]

Все это очень мило, но как доказать исходное утв?

[Brukvalub]

malykh89 писал(а):

Все это очень мило, но как доказать исходное утв?

Вот я мило и писал Вам, как доказать:

Brukvalub писал(а):

Проверьте линейность этого преобразования и сохранение длин при его действии.

(эх, люблю, когда меня цитируют, даже если цитирую я сам)

[Echo-Off]

Пусть $H$ - гильбертово пространство, $M$ - его замкнутое подпространство. Тогда определено $L=M^{\bot}$. Тогда для любого $x\in H$ существуют единственные $y\in M$ и $z\in L$, что $x=y+z$. Положим $Ax=y-z$. Тогда $A$ называется оператором ортогональной симметрии.
Таким образом, $(Ax,\,Ax) = (y-z,\,y-z) = (y,\,y)+(z,\,z)-(z,\,y)-(y,\,z)=(y,\,y)+(z,\,z)$ ввиду ортогональности $y$ и $z$. Однако $(x,\,x)=(y+z,\,y+z)=(y,\,y)+(z,\,z)+(z,\,y)+(y,\,z)=(y,\,y)+(z,\,z)$.

[ewert]

Попробую перевести на немного другой язык.
Оператор $A$ в гильбертовом пространстве называется оператором отражения относительно подпространства $L$, если $(A\vec x-\vec x)\perp L\ \ (\forall\vec x)$ и $(A\vec x+\vec x)\in L\ \ (\forall\vec x)$.

Явные формулы для такого оператора:

$$A\vec x=2\;P_L\vec x-\vec x$$

или

$$A\vec x=\vec x-2\;P_{L^{\perp}}\vec x$$

,
где $P_L$ и $P_{L^{\perp}}$ -- операторы ортогонального проектирования на само подпространство и на его ортогональное дополнение (какая проще -- зависит от того, размерность какого подпространства меньше). Эти формулы явные, т.к. явно выписываются через ортонормированный базис $\{\vec u_k\}$ подпространства (если, конечно, задача сепарабельна -- например, конечномерна):

$$P_L\vec x=\sum\limits_k{(\vec x,\vec u_k)\over||\vec u_k||^2}\,\vec u_k$$

.
Оператор $A$ при этом автоматически линеен и самосопряжён (т.к. ортопроекторы -- самосопряжены). Его ортогональность, или унитарность (т.е. сохранение им нормы) проверяется, например, в лоб:

$$||A\vec x||^2=4||P_L\vec x||^2-4(P_L\vec x,\vec x)+||\vec x||^2=||\vec x||^2$$

(последнее верно потому, что $P_L^2=P_L$ и, следовательно, $(P_L\vec x,P_L\vec x)=(P_L\vec x,\vec x)$).

-----------------------------------------
Что казается $A^2=E$. Для оператора отражения это, конечно, верно -- просто потому, что он одновременно унитарен и самосопряжён. Обратно, если $A^2=E$ и плюс к этому оператор $A$ самосопряжен, то это -- оператор отражения. При этом
$L$ -- это собственное подпространство, отвечающее его единичному собственному числу (а подпространство $L^{\perp}$ отвечает собственному числу, равному $(-1)$).