Разложение arcsin(sqrt(1 - x))

[Gickle]

День добрый, господа. Начну немного издалека. В общем, вычислял я период колебаний для простейшего случая оциллятора Дуффинга:

$\ddot{x} + x + \varepsilon x^3 = 0$

Для этого необходимо вычислить следующий интеграл:

$T = 2 \displaystyle\int_a^b \frac{dx}{\sqrt{2\left(E - V(x)\right)}}$,

где $V(x) = \frac{1}{2} x^2 + \frac{\varepsilon}{4} x^4$, а точки $a$ и $b$ являются точками поворота.

Поскольку нас интересуют только действительные решения, то корня два:

$a, b = \pm \displaystyle\sqrt{\frac{\sqrt{1 + 4 \varepsilon E} - 1}{\varepsilon}}$

В задаче предполагается, что $\varepsilon$ - малый параметр, по которому нужно разложить свой ответ. Поэтому в подынтегральном выражении я разложил корень с точностью до линейного члена. В итоге получаем два интеграла, выражения для которых найти несложно, в общем-то. Вот вполне ожидаемое выражение для первого интеграла, например:

$I_1 = 2 \displaystyle\arcsin{\frac{x}{\sqrt{2 E}}} \,\bigg|_a^b$

И возникает у меня вопрос, как аккуратно разложить эту штуку по $\varepsilon$? Ну, то есть функция явно ведь не будет аналитической в точке $\varepsilon = 0$. Вообще, как я понимаю, поскольку нас интересуют только члены порядка не выше линейного, то выражения для точек поворта можно упростить немного:

$a, b = \pm \displaystyle\sqrt{2 E \left(1 - \varepsilon E\right)}$

И, по сути, встаёт вопрос о разложении функции

$f(x) = \arcsin{\sqrt{1 - x}}$,

у которой в $x = 0$ разрывна производная. То есть, по сути, ряд Тейлора-то тут и не применишь больно.

В общем, как поступить и где я ошибаюсь? Не могу разобраться никак.

[Brukvalub]

Производной слева в нуле точно нет.

[Red_Herring]

У нас есть интеграл в пределах от $0$ до $a(\varepsilon)$. Сделаем замену $x=a(\varepsilon)\sin (t)$ и получим вполне себе регулярный интеграл....

[Gickle]

Red_Herring
Может быть, я не совсем правильно вас понял, но в задании просится именно что разложить сначала подынтегральную функцию (первые два члена), а уже потом интегрировать. И с интегрированием в дальнейшем проблем нет. Есть проблема в представлении полученного ответа в виде

$T(\varepsilon) = c_0 + c_1 \varepsilon + O(\varepsilon^2)$,

что, если мои выкладки правильны, сводится к проблеме разложения вышеупомянутой функции.

P.S. Отмечу, что задача из физического курса (нелинейная динамика для физиков), чтобы лучше понимать, о каком уровне математической строгости идёт речь.

[Red_Herring]

Gickle в сообщении #1180860 писал(а):

но в задании просится именно что разложить сначала подынтегральную функцию

Если вы правильно цитировали задание, то держитесь подальше от того извращенца, который его дал.

[Gickle]

Red_Herring

(Тот самый кусок задания)

Expand the integrand in $\varepsilon$ and integrate the first two terms separately, to yield an expression of the form

$T(\varepsilon) = c_0 + c_1 \varepsilon + O(\varepsilon^2)$

Ну, вроде имеется в виду именно то, что я сказал.

[DeBill]

Gickle в сообщении #1180852 писал(а):

вопрос о разложении функции

$f(x) = \arcsin{\sqrt{1 - x}}$,

у которой в $x = 0$ разрывна производная. То есть, по сути, ряд Тейлора-то тут и не применишь больно.

Ну почему? Только надо аккуратнее делать - ведь у нас и пределы интеграла зависят от эпсилон...
Поехали:
Подкоренное выражение честно раскладываем на два множителя. Поскольку $b=-a$, получим для $T$ интеграл вида
$\int\limits_{-a}^{a}\frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}\cdot$[что-то]. Делаем замену $x=at$, получим
$T = \int\limits_{-1}^{1}\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\cdot$[чего-то]. И вот это [чего-то] уже вполне прилично, и вполне себе разлагабельно и аналитично по $\varepsilon$ ( и даже дает при $\varepsilon =0$ правильный ответ). Только, конечно, это все хорошо лишь при малых $\varepsilon$ (и - при отрицательных $\varepsilon $ - не слишком больших уровнях энергии ).
Ааа, уже написали. Ну да ладно....

[Gickle]

DeBill в сообщении #1180866 писал(а):

Подкоренное выражение честно раскладываем на два множителя. Поскольку $b=-a$, получим для $T$ интеграл вида
$\int\limits_{-a}^{a}\frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}\cdot$[что-то]. Делаем замену $x=at$, получим
$T = \int\limits_{-1}^{1}\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\cdot$[чего-то]

Дык это, у нас не совсем такой ведь интеграл получится. Скорее

$\int\limits_{-a}^{a}\frac{dx}{\sqrt{c^2 - x^2}}\cdot \text{[что-то]}$,

поэтому просто так и пределы, и подкоренное выражение в красоту не превратишь. Всё равно даже для случая $\text{[что-то]} = 1$ получим $\arcsin(\text{[чего-то]}(\varepsilon))$ из-за пределов.

[DeBill]

Gickle
Я имел в виду [что-то] - оно под интегралом...

[Gickle]

DeBill
Я понял, да. Ну вот первые два члена:

$\displaystyle\int_{-a}^{a} \frac{(1 + \frac{1}{8} \varepsilon x^4) dx}{\sqrt{E - \frac{1}{2} x^2}}$,

где $a$ - см. выше.

Вот мы сделаем замену $x \rightarrow \sqrt{2 E} \cdot y$, получим первообразную $\arcsin$ (про первый член будем пока что говорить). Но пределы-то не станут единичными. То есть в итоге первый член получится $\sim \arcsin{\frac{a}{\sqrt{2E}}}$, и мы возвращаемся к вопросу, как эту штуку по $\varepsilon$ разложить.

[DeBill]

$E-\frac{1}{2}x^2 -\frac{\varepsilon}{4}x^4 =(a^2 - x^2)(K^2 +\frac{\varepsilon}{4}x^2)$, где $a^2 = \frac{-1+\sqrt{1+4\varepsilon E}}{\varepsilon}$, $K^2 = \frac{1+\sqrt{1+4\varepsilon E}}{4}$

-- 29.12.2016, 23:24 --

И вот корень из первой скобки - как раз такой, какой надо. А корень из второй - он и пойдет в "что-то"

[Gickle]

DeBill
А-а-а, так вот вы о чём. Теперь нужно только $(K^2 + \frac{\varepsilon}{4} x^2)^{-1/2}$ разложить, а потом всё это дело проинтегрировать. А насколько это "законно"? Просто мы, получается, подынтегральное выражение раскладываем по принципу "это хочу, это - не хочу".

[DeBill]

А после замены у меня получилось под интегралом
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot\sqrt{2}\cdot(1-\frac{\varepsilon E(1+t^2)}{2})$

-- 29.12.2016, 23:40 --

Да нет, все честно: у нас была проблема - интеграл то несобственный, и с особенностью как раз в точке, зависящей от параметра. Заменой (это - совершенно законно) мы сконцентрировали все проблемы в одном месте. Под интегралом в результате получилось произведение суммируеиой функции (дающей наш арксинус) и прекрасной функции от параметра. Теперь все обоснования проходят на раз - хошь, по теоремам для равномерно сходящихся несобственых интегралов, хошь - по теореме Лебега. Вообще, это типовой способ построения асимптотических разложений...

[Gickle]

DeBill
Большое вам спасибо! А то я как увидел корень, так сразу и побежал по параметру сходу раскладывать. Впредь буду думать.