Доказательство из топологии

[Someone]

(Оффтоп)

пианист в сообщении #1180820 писал(а):

Александров (кажется, он) на экзаменах в аспирантуру алгебраического тополога Болибруха спросил про компактности, а общих топологов, напротив, стал спрашивать про всякое гомологическое.

Было дело. Меня спросил группы гомологий тора. Я их сразу не вспомнил, опыта у меня в этой области не было. Я быстренько соорудил клеточный комплекс и начал считать эти самые гомологии. Однако не успел. Павел Сергеевич остался сильно недоволен: "Группы гомологий считать с помощью точной полследовательности — это безобразие". Но на оценку это не повлияло.

[Munin]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1180829 писал(а):

"Группы гомологий считать с помощью точной последовательности — это безобразие"

А с помощью чего их считают профессионалы?

[gogoshik]

Anton_Peplov в сообщении #1180814 писал(а):

А что такое внутренность $B$?

Это множество внутренних точек $B$.

Спасибо вам всем что много интересного тут рассказываете. Вы просто супер! Я мало чего понял. Алгебраическая топология это по видимому очень занимательно, но мне бы обычную, как называете общую топологию разобрать. Но становится интересно. Про лист (ленту) Мёбиуса я читал, но там нигде не говорилось что это объект алгебраической топологии. Разберусь с общей топологией, думаю можно будет поизучать и алгебраическую!

-- 29.12.2016, 18:29 --

arseniiv в сообщении #1180813 писал(а):

Вообще надо определиться, исходите ли вы из аксиом (и каких) топологии или чего-то другого, а то так можно будет намотать кругов и выводить что-то неявно из себя самого. Если начинать от аксиом Куратовского

Вот уж определения аксиом Куратовского не было. Такие штуки не вводились в предмете! Видимо нужно делать не зная что такое "аксиомы Куратовского".

-- 29.12.2016, 18:41 --

Munin в сообщении #1180816 писал(а):

читать сразу алг. топологию. Лучше всего "книжку с картинками", где побольше наглядных пояснений.

Поделитесь со мной такими книжками, плиз!

[Someone]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1180831 писал(а):

Someone в сообщении #1180829 писал(а):

"Группы гомологий считать с помощью точной последовательности — это безобразие"

А с помощью чего их считают профессионалы?

По-моему, он рассчитывал, что я их сразу назову, и всё. А считать, на мой взгляд, с помощью клеточных комплексов гораздо проще, чем с помощью симплициальных. Потому что клеток там одна штука нульмерных, две штуки одномерных и одна штука двумерных, а симплексов будет воз и маленькая тележка. Клеточный комплекс такой: $0\xleftarrow{d}\mathbb Z\xleftarrow{d}\mathbb Z+\mathbb Z\xleftarrow{d}\mathbb Z\xleftarrow{d} 0\xleftarrow{d} 0\xleftarrow{d}\ldots$, причём, все дифференциалы тривиальные (нулевые), так что группы гомологий $H_0=\mathbb Z$, $H_1=\mathbb Z+\mathbb Z$, $H_2=\mathbb Z$, $H_n=0$ при $n>2$.

gogoshik в сообщении #1180834 писал(а):

Поделитесь со мной такими книжками, плиз!

А. Т. Фоменко. Д. Б. Фукс. Курс гомотопической топологии.Москва, "Наука", 1989.
Картинок там полно, но читать её начинающему весьма тяжело.
Впрочем, я занимаюсь общей топологией, а не алгебраической.

-- Чт дек 29, 2016 19:29:29 --

gogoshik в сообщении #1180834 писал(а):

Это множество внутренних точек $B$.

Ну так Вы доказали, что внутренняя точка множества $A$ будет и внутренней точкой множества $B$?

[arseniiv]

gogoshik в сообщении #1180834 писал(а):

Вот уж определения аксиом Куратовского не было. Такие штуки не вводились в предмете! Видимо нужно делать не зная что такое "аксиомы Куратовского".

Тогда вы можете доказать эти аксиомы из обычных, используя обычное определение замыкания, и потом пользоваться, если захочется.

[Anton_Peplov]

Слушайте, gogoshik, что-то Вы в трех соснах блуждаете.
Пусть точка $x$ внутренняя для $A$. Значит, у нее есть окрестность, целиком лежащая в $A$. Но $A \subset B$, поэтому эта окрестность целиком лежит и в $B$. Значит, точка $x$ имеет окрестность, целиком лежащую в $B$, то есть внутренняя для $B$. Таким образом, точка, внутренняя для $A$, является внутренней и для $B$. Чего еще Вы хотите, я не пойму?

[Someone]

Дж. Франсис. Книжка с картинками по топологии. Как рисовать математические картинки. Москва, "Мир", 1991.
Но это, собственно говоря, книжка не про топологию, а про картинки.

[Mikhail_K]

arseniiv в сообщении #1180817 писал(а):

Munin
Я вас удивлю, но иногда желанна общая топология. Впрочем, статистика, видимо, не на моей стороне.

Расскажите подробнее.
Чем именно привлекала общая топология в этих не столь частых случаях.
Потому что общая топология - это действительно не такая "яркая" вещь, как алгебраическая. И тем ценнее каждая возможность её преподнести в интересном и привлекательном виде.

[gogoshik]

Все верно :) Да я просто хочу тщательно до всего докопаться, чтобы глубоко разобраться, понять, осмыслить, осознать. Я хочу чтобы Вы мне по Вашей доброй воле объяснили в чем заключаются мои заблуждения в этом предмете, так как виднее Вам как профессионалам математики. А я еще учусь и блуждаю, и Вы правильно на мой поверхностный взгляд делаете мне замечание. Но то что Вы пишете у меня вызывает недопонимание, ну вот вызывает какой то внутренний дискомфорт. Так то оно так. Но по требованиям задачи нужно все таки на мой взгляд доказать иную вещь. Вы пишете, что нужно доказать это (и это мы доказали):

Anton_Peplov в сообщении #1180851 писал(а):

точка, внутренняя для $A$, является внутренней и для $B$

Но! Но в задаче требуют доказать что внутренность $A$ содержится во внутренности $B$.
Вы как будто утверждаете, что доказать второе это равносильно доказать первое. По крайней мере делает такой маневр. Но я этот маневр не вижу. Его в доказательстве нет. Я этого не понимаю. Я исхожу из собственной простой идеи, что между этими двумя утверждениями есть разница. А почему? Просто потому что это разные с точки зрения языка и языковой, ну и логической конструкции утверждения.

Если кружка находится в кастрюле, то все предметы которые мы положим в кружку станут частью предметов которые будут находиться в кастрюле.
А что у нас находится в кастрюле: кружка, ложка и что-то может быть еще (нам же никто не запрещает в кастрюлю класть вилки)!

А мы доказали, что:
Ложка которая находится в кружке, является предметом который находится в кастрюле (внутренняя точка $A$ является внутренней точкой $B$).

Так это и так понятно без доказательств при таких то условиях! А нам нужно доказать другое: что все ложки (множество точек $A$) оказавшись в кружке станут частью всевозможных предметов внутри кастрюли (множество точек $B$) - ложек, вилок, кружек и того всего что мы еще в кастрюлю сможем запихнуть.

Но я так понял, что Вы говорите, что мы можем сказать что это одно и то же и таким образом мы все доказали! Сделана переформулировка исходной задачи в другую чем-то похожую, но не в точь в точь. Хотя на мой взгляд так всегда следует поступать с оговорками.

Ложки это ложки. Вилки это вилки. Кружки это кружки ... И все они внутри кастрюли. Но это не значит что ложка оказавшись в кружке станет вилкой которая в кастрюле. А ведь мы это и доказали (что внутренняя точка $A$ является внутренней точкой $B$)!

[Brukvalub]

(Оффтоп)

gogoshik в сообщении #1180867 писал(а):

Если кружка находится в кастрюле, то все предметы которые мы положим в кружку станут частью предметов которые будут находятся в кастрюле.
А что у нас находится в кастрюле: кружка, ложка и что-то может быть еще (нам же никто не запрещает в кастрюлю класть вилки)!

А мы доказали, что:
Ложка которая находится в кружке, является предметом который находится в кастрюле (внутренняя точка $A$ является внутренней точкой $B$).

Так это и так понятно без доказательств при таких то условиях! А нам нужно доказать другое: что все ложки (множество точек $A$) оказавшись в кружке станут частью всевозможных предметов внутри кастрюли (множество точек $B$) - ложек, вилок, кружек и того всего что мы еще в кастрюлю сможем запихнуть.

Но я так понял, что Вы говорите, что мы можем сказать что это одно и то же и таким образом мы все доказали! Сделана переформулировка исходной задачи в другую чем-то похожую, но не в точь в точь. Хотя на мой взгляд так всегда следует поступать с оговорками.

Ложки это ложки. Вилки это вилки. Кружки это кружки ... И все они внутри кастрюли. Но это не значит что ложка оказавшись в кружке станет вилкой которая в кастрюле. А ведь мы это и доказали (что внутренняя точка $A$ является внутренней точкой $B$)!

Это вы из книги "Topology for dummies" цитируете? Очень наглядно! А кто автор?

[gogoshik]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1180868 писал(а):

Это вы из книги "Topology for dummies" цитируете? Очень наглядно! А кто автор?

До такой книжки я еще не добрался. Сам придумал.
Кстати я погуглил. Интересная вещь с картинками https://www.staff.ncl.ac.uk/damian.giaouris/pdf/various/Topology_for_dummies.pdf

[Xaositect]

gogoshik
А что значит "множество $A$ включается в множество $B$"?

[gogoshik]

Это значит что все точки $A$ содержаться в $B$. Почему Вы задали этот вопрос?

[Xaositect]

Хорошо. А что такое внутренность $A$?

[gogoshik]

Xaositect в сообщении #1180876 писал(а):

что такое внутренность $A$?

Множество внутренних точек $A$.