Уравнение вращательного движения в случае переменной инерции

[ivanp7]

Уравнение вращательного движения в пространстве выглядит так:
$[\boldsymbol{I}]\dot{\boldsymbol{\omega}}+\boldsymbol{\omega}\times([\boldsymbol{I}]\boldsymbol{\omega})=\boldsymbol{M}$
причем $[\boldsymbol{I}]$ - матрица инерции (оператор векторного произведения) в системе координат, сязанной с вращающимся телом.
Данное уравнение было выведено из уравнения $\frac{d(\boldsymbol{I\omega})}{dt}=\boldsymbol{M}$ с целью избавиться от зависимости матрицы $\boldsymbol{I}$ от времени, путем перехода из инерциальной системы координат в систему координат тела, в которой (если тело не изменяет свою форму) $\boldsymbol{I}$ не зависит от времени.
Мне интересно, а если все-таки тело изменяет свою форму, как можно учесть изменение момента инерции в этом уравнении?

[Munin]

Возьмите производную ещё раз, и не выкидывайте слагаемых с $[\dot{\boldsymbol{I}}].$

[rustot]

Для отдельно взятой частицы относительно начала координат угловая скорость равна по определению

$\vec{w} = \frac{\vec{r}\times\vec{v}}{r^2}$

Откуда

$\frac{d}{dt}(r^2 \vec{w} ) = \vec{r}\times\vec{a}$

И согласно второму закону ньютона

$\frac{d}{dt}(m r^2 \vec{w}) = \vec{r}\times\vec{F}$

Назвав выражение в скобках слева "моментом ипульса" $\vec{L}$ частицы относительно начала координат, а выражение справа моментом силы $\vec{M}$ приложенной к ней мы и получим известное соотношение

$\vec{M} = \frac{d}{dt}\vec{L}$

Очевидно что это соотношение верно и для любой системы частиц, если обозначить $\vec{M} = \sum\vec{r_i}\times\vec{F_i}$ и $\vec{L} = \sum m_i r_i^2 \vec{w_i}$. Причем с учетом третьего закона ньютона в первой сумме можно не учитывать силы прикладываемые частицами системы друг к другу и учитывать только внешние силы приложенные к ним

"Твердое тело" в котором все частицы движутся с одной и той же угловой скоростью, это всего лишь удобный частный случай в котором можно вынести $\vec{w}$ за сумму а оставшуюся сумму назвать "моментом инерции тела". В процессе деформации это уже может оказаться не так и частицы могут оказаться с движущимися с разной угловой скоростью. Если же деформация такая "аккуратная" что угловое ускорение всех частиц оказывается строго равным, то значит вам достаточно дифференцировать суммарный момент инерции $\frac{d}{dt}(J\vec{w}) = J\frac{d}{dt}\vec{w} + \vec{w}\frac{d}{dt}J$

[ivanp7]

Получается что-то вроде
$(\frac{d\vec{L}}{dt})_i=\vec{w}\times\vec{L}+[J_r] \frac{d\vec{w}}{dt} + \frac{d([J_r])}{dt} \vec{w}$
но непонятно,
$\vec{L}=[J_i]\vec{w}$ (инерциальная СО)
или
$\vec{L}=[J_r]\vec{w}$ (СО, связанная с телом)