Обжоры, мандарины, комбинаторика

[PWT]

Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, разобраться!

Несколько обжор ели мандарины. Известно, что победитель (тот, кто съел больше всех) съел ровно в 7 раз меньше мандаринов, чем все обжоры участники вместе взятые. Обжора, занявший третье место, съел ровно в 15 раз мандаринов меньше, чем все остальные, а обжора, оказавшийся на последнем месте, съел ровно в 16 раз меньше мандаринов, чем все остальные. Сколько было обжор?
Во-первых ясно, что участников хотя бы четыре.
Пусть $x_1$ – количество мандаринов, которые съел победитель. Пусть $x_3$– количество мандаринов, которые съел человек, который занял третье место. Пусть $x_l$ – количество мандаринов, которые съел человек, который занял последнее место. Тогда количество мандаринов, которые съели все обжоры $N=8x_1=16x_3=17x_L$.
Наименьшее общее кратное будет $16\cdot 17=272$. Тогда выходит, что количество мандаринов кратно числу 272. При этом $x\geqslant 34$, $y\geqslant 17$, $x\geqslant 16$ Пусть количество мандаринов, которые съели все обжоры, кроме первого будет $y$.
Тогда $x_1+x_3+x_L+y=272k=N=\dfrac{N}{8}+\dfrac{N}{16}+\dfrac{N}{17}+y$.

Тогда $y=\dfrac{272N-34N-17N-16N}{252}=\dfrac{205N}{252}$. Так как дробь несократима, то обжор, кроме вычшеперечисленных должно быть кратно $205$. Может просто можно взять 205?

-- 26.12.2016, 21:22 --

У меня есть ощущение, что общее число снежков неограниченно сверху, потому задача имеет кучу решений, но думаю, что автор хочет увидеть хотя бы один расклад...

[12d3]

PWT в сообщении #1180282 писал(а):

Может просто можно взять 205?

Это больше, чем у победителя. Надо учесть места, занятые участниками, и 4 человеками не обойтись.

[grizzly]

PWT в сообщении #1180282 писал(а):

победитель (тот, кто съел больше всех) съел ровно в 7 раз меньше мандаринов, чем все обжоры участники вместе взятые
...
Тогда количество мандаринов, которые съели все обжоры $N=8x_1=16x_3=17x_L$.

Здесь должно быть $N=7x_1=16x_3=17x_l$

[mihiv]

PWT, попробуйте получить неравенство для $l$.

[DeBill]

Ну, видимо, 14 обжор. Или 15....

[Red_Herring]

Поскольку #1 сожрал (исходя из дальнейшего ясно, что даже это слово не отражает полностью) 1/7 общего количества, а #3––1/16, а самый умеренный #N––1/17, мы заключаем что общее количество манаринок делится на 7, 16 и 17, а значит и на 1904. Если мы хотим минимизировать число обжор, то посчитаем что #2 сравнялся с #1, а #4, #5, .... с #3, и тогда $\frac{1}{7}\cdot 2 + \frac{1}{16}\cdot (N-2)\ge 1\implies N\ge 14$ (поскольку $N$ целое). Если мы хотим максимизировать их число, то #2 сравнялся с #3, а все прочие--с #N: $\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\cdot 2 + \frac{1}{17}\cdot (N-3)\le 1\implies N\le 15$.

Поскольку выбор количества сожранного каждым из неупомянутых в условиях обжор произвольное целое число (в указанных рамках), то можно реализовать оба сценария $N=14$ и $N=15$, $x_1=272$, $x_3=119$, $x_N=112$.

Я не поленился, посчитал: в 5-фунтовом ящике 35 мелких мандарин, т.е. даже самый умеренный сожрал минимум 7 кило. Впрочем, невозможное--возможно
https://en.wikipedia.org/wiki/Joey_Chestnut

[Sender]

PWT в сообщении #1180282 писал(а):

У меня есть ощущение, что общее число снежков неограниченно сверху

Мы знаем, какую часть мандаринов съел обжора с самым плохим аппетитом, каждый из остальных съел заведомо не меньше, что немедленно даёт ограничение сверху на количество участников.

-- Вт дек 27, 2016 10:30:42 --

Может, в условии опечатка и первый съел всего лишь в 7 раз меньше, чем все остальные? Тогда задача имела бы однозначное решение.

[TOTAL]

Самое малое число участников тогда, когда они жрут много, т. е. второй съел $1/8$, а между третьим и последним каждый съел по $1/16$.
Самое большое число участников тогда, когда они жрут мало, т. е. второй съел $1/16$, а между третьим и последним каждый съел по $1/17$.

Т.е. 15. (Или 14? )

[EUgeneUS]

Цитата:

Известно, что победитель (тот, кто съел больше всех)...

ИМХО, это означает, что победитель только один, и второй не мог съесть столько же. Это исключает неоднозначность.

[TOTAL]

EUgeneUS в сообщении #1180429 писал(а):

Цитата:

Известно, что победитель (тот, кто съел больше всех)...

ИМХО, это означает, что победитель только один, и второй не мог съесть столько же. Это исключает неоднозначность.

Второй съел на $0.000000000000000001$% меньше первого. Как это исключает неоднозначность?

[PWT]

Спасибо, разобрался, только один момент смущает. Но ведь нужно указать распределение мандаринов между обжорами, но этого не получается сделать при $N=14$.

[DeBill]

PWT в сообщении #1180453 писал(а):

этого не получается сделать при $N=14$.

Да почему?
Например, главный -272, третий - 119, последний - 112, с четвертого по 13-й -113, остальные из 18994 - второму (261)