Binomial summation

[man111]

$\displaystyle \binom{n}{0}\binom{3n}{2n}-\binom{n}{1}\binom{3n-3}{2n-3}+\binom{n}{2}\binom{3n-6}{2n-6}-\cdots \cdots \cdots $

[DeBill]

Рассмотрим ряд $(1-x^3)^n\cdot \sum\limits_{m=0}^{\infty} x^m(1+t)^m = $
$\sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^k\cdot C^k_n x^{3k}\cdot \sum\limits_{m=0}^{\infty} \sum\limits_{s=0}^{m} C^s_m t^s x^m$.
Его коэф-т при $t^{n} x^{2n}$ и есть наша сумма.
Но, по формуле для геом прогрессии, ряд равен $\frac{(1-x^3)^n}{1-x(1+t)}$.
Разлагая эту дробь в ряд по степеням $t$, найдем к-т при $t^n$: он равен
$ f(x) = \frac{(1-x^3)^n}{(1-x)^{n+1}} = \frac{(1+x+x^2)^n}{1-x}$.
К-т при $x^{2n}$ этой дроби равен вычету в нуле функции $\frac{f(x)}{x^{2n+1}}$. У этой функции - три особых точки: точка $x=0$ (с искомым вычетом $R$), точка $x=1$ (это - полюс порядка 1, и вычет равен $-3^n$ ) и точка $x=\infty$ (устранимая, и даже - нуль второго порядка, так что вычет в ней равен 0). По тереме о полной сумме вычетов, находим $R=3^n$

[man111]

Thanks Debill for nice solution

i have solved like this way

$\displaystyle \binom{n}{0}\binom{3n}{n}-\binom{n}{1}\binom{3n-3}{n}+\binom{n}{2}\binom{3n-6}{n}-\binom{n}{3}\binom{3n-9}{n}_\cdots $

Coefficients of $x^n$ in $\left(\binom{n}{0}(1+x)^{3n}-\binom{n}{1}(1+x)^{3n-3}+\binom{n}{2}(1+x)^{3n-6}-\cdots \right)$

Coefficients of $x^n$ in $\left((1+x)^{3}-1\right)^n$

Coefficients of $x^n$ in $\left(3x+3x^2+x^3\right)^n = 3^n$

[DeBill]

man111
Ваше решение, однако, существенно короче!

[sergei1961]

Это не подходит под определение того, что называется свёрткой Вандермонда у Риордана?