Привести к каноническому виду

[Ilya_by]

Добрый вечер. Помогите разобрать c уравнением.

${x}^{3}\frac{{\partial}^{2}u}{\partial{x}^{2}}+{y}^{5}\frac{{{\partial}^{2}u}}{\partial{y}^{2}}+4{x}^{2}y\frac{\partial u}{\partial x}=0$ где (x>0, y<0)
Моё решение.
1. Общий вид квазилинейного уравнения 2-ого порядка.
A=${x}^{3}$, B=0, C=${y}^{5}$
${B}^{2}-AC \Rightarrow 0-{x}^{3}{y}^{5} \Rightarrow -{x}^{3}{y}^{5}$ т.к x>0, y<0 значит уравнение эллиптического типа.
2. Уравнение характеристик
$\partial y=\frac{\sqrt{-{x}^{3}{y}^{5}}}{{x}^{3}}\partial x$ или $\partial y=-\frac{\sqrt{-{x}^{3}{y}^{5}}}{{x}^{3}}\partial x$
Решая дифференциальное уравнение я получил выражение
$y=\frac{2i{y}^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}}+C \Rightarrow \sqrt{x}y-2i{y}^{\frac{5}{2}}=C$
3. Замена переменных

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \xi=\sqrt{x}y\\ \eta=-2{y}^{\frac{5}{2}}\\ \end{array} \right.$$

Решая дальше я у меня получается какой-то бред. Помогите разобраться.

[Brukvalub]

Ilya_by в сообщении #1180278 писал(а):

${B}^{2}-AC \Rightarrow 0-{x}^{3}{y}^{5} \Rightarrow -{x}^{3}{y}^{5}$ т.к x>0, y<0 значит уравнение эллиптического типа.

Как узнали про эллиптический тип?

[Ilya_by]

В методичке написано если ${B}^{2}-AC > 0$ уравнение гиперболического типа, ${B}^{2}-AC < 0$ уравнение эллиптического типа, ${B}^{2}-AC = 0$ уравнение гиперболического типа параболического типа. Или я что-то не понимаю? Помогите разобраться

[Brukvalub]

Ilya_by в сообщении #1180375 писал(а):

В методичке написано если ${B}^{2}-AC > 0$ уравнение гиперболического типа,

В методичке все верно записано.

[Ilya_by]

Получается при y<0 у меня получается гиперболический тип.
Решая дифференциальное уравнение
$\partial y = \frac{\sqrt{-{x}^{3}{y}^{5}}}{{x}^{3}}\partial x \Rightarrow y=\frac{-2\sqrt{-{x}^{3}{y}^{5}}}{{x}^{2}}+C$

$\partial y = \frac{-\sqrt{-{x}^{3}{y}^{5}}}{{x}^{3}}\partial x \Rightarrow y=\frac{2\sqrt{-{x}^{3}{y}^{5}}}{{x}^{2}}+C$
Замена переменных

$$\left\{ \begin{array}{rcl} {x}^{2}y-2\sqrt{-{x}^{3}{y}^{5}}=\xi\\ {x}^{2}y+2\sqrt{-{x}^{3}{y}^{5}}=\eta\\ \end{array} \right.$$

Правильно ли я тут делаю?

[Brukvalub]

Ilya_by в сообщении #1180431 писал(а):

Правильно ли я тут делаю?

Нет. Например, вот это:

Ilya_by в сообщении #1180431 писал(а):

$\partial y = \frac{-\sqrt{-{x}^{3}{y}^{5}}}{{x}^{3}}\partial x \Rightarrow y=\frac{2\sqrt{{x}^{3}{y}^{5}}}{{x}^{2}}+C$

ни в какие ворота не лезет.

[Ilya_by]

В чём ошибка тогда? В методичке так и решают формула $\partial y=\frac{B(x,y) + или - \sqrt{{B}^{2}-AC}}{A(x.y)}dx$

[Brukvalub]

Я написал, в чем ошибка.

[Ilya_by]

я - пропустил, всё исправил!

[Brukvalub]

Что вам мешает проверить свои действия подстановкой уравнений характеристик в отвечающие им дифуры?

[Ilya_by]

Получается я не правильно решил уравнение, пойду решать

[Someone]

Ilya_by в сообщении #1180431 писал(а):

Решая дифференциальное уравнение
$\partial y = \frac{\sqrt{-{x}^{3}{y}^{5}}}{{x}^{3}}\partial x$

Какая-то странная у Вас запись дифференциального уравнения. В методичке так и написано — с частными дифференциалами?

[Ilya_by]

В методичке написана одна формула ту которую я писал без пояснений и простой пример приведён

[Someone]

Ну так в примере-то какие дифференциалы?

[Ilya_by]

Очень простые примеры.
${x}^{3}\partial{y}^{2}-{y}^{5}\partial{x}^{2}=0$
Решение
P=${x}^{3}$, Q=${y}^{5}$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{\partial P}{\partial y}={({x}^{3})'_{y}}=0\\ \frac{\partial Q}{\partial y}={(-{y}^{5})'_{x}}=0\\ \end{array} \right.$$

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$
$F=\int\limits{x}^{3}\partial x = \frac{{x}^{4}}{4} + \varphi(y)$
$({\frac{{x}^{4}}{4} + \varphi(y)})'_{y} = 0 + ({\varphi})'_{y}$
$\frac{\partial F}{\partial y}={\varphi}'_{y}(y)$
${\varphi}'_{y}(y)=-{y}^{5}$
$\varphi(y)=\int\limits-{y}^{5}\partial y = -\frac{{y}^{6}}{6}+C$
$F=\frac{{x}^{4}}{4}-\frac{{y}^{6}}{6}+C$
Ответ $\frac{{x}^{4}}{4}-\frac{{y}^{6}}{6}+C$
что дальше нужно делать