Помогите с задачей на теорию моделей.

[verharber1]

Доказать, что для любой бесконечной модели $\mathfrak{A}$ сигнатуры $\sigma$ существует модель $\mathfrak{B}$ сигнатуры $\sigma$ такая, что $\mathfrak{A}\equiv \mathfrak{B}$, $\| \mathfrak{B} \|$ = $\max \{ \omega, \| \sigma \| \}$, но не всякий элемент В является интерпретацией константного символа из $\sigma$.
В этой этой теме есть совет, вот он:
Вводим достаточно большое количество новых констант в сигнатуру и через теорему компактности строим модель, которая элементарно эквивалентна $\mathfrak{A}$ и для которой мощность носителя больше, чем множество констант сигнатуры. Затем выбираем в носителе этой модели элемент, не являющийся значением константного символа и, пользуясь теоремой Левенгейма-Сколема, выделяем элементарную подмодель мощности $\max \{ \omega, \| \sigma \| \}$.

Но я никак не могу понять, какое количество констант достаточно большое. Или просто вводить новых констант больше, чем в сигнатуре $\sigma$? А если множество констант из $\sigma$ континуальное? Или даже если множество констант в $\sigma$ конечное и ввести новых неравных друг другу констант больше, чем в $\sigma$, а дальше по теореме о компактности построить модель, то мощность носителя этой модели будет больше, чем количество констант в $\sigma$?