Уравнение с частными производными

[deebo]

Вот бьюсь, не получается. Помогите, пожалуйста.
Найти общее решение уравнения:
$ \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=ay\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}+b(c-y)(y-d)\frac{\partial^{2}f(x,y)}{\partial y^2} $
$ $a,b,c,d>0$ $
$ $c>d$ $

[Gafield]

А какие здеcь есть основания надеяться получить общее решение? В областях, где коэффициент при старшей производной в правой части положителен, уравнение будет параболическим, там, где отрицателен - обратно параболическим. Даже если бы это было уравнение теплопроводности, что подразумевалось бы под общим решением?

[deebo]

Вы правы, я пропустил ограничение. Нужно решение в области $c \ge y \ge d$.
Так что уравнение параболическое.

[Gafield]

На границе коэффициент при старшей производной равняется нулю. Так что это вырождающееся параболическое уравнение.

Даже если бы это было уравнение теплопроводности, что подразумевалось бы под общим решением?

Если бы речь шла, скажем, о первой краевой задаче, то, поскольку коэффициенты зависят только от $y$, можно было бы попробовать метод Фурье. Хотя получающееся ОДУ будет вырождаться на концах отрезка, и надо еще разбираться, что будет со спектром и собственными функциями.

[V.V.]

А что, если поставить задачу Коши и применить преобразование Лапласа? Тогда получится гипергеометрическое уравнение... Записываем его решение и делаем обратное преобразование...

[Gafield]

Со сходимостью интегралов там будут сложности. Пусть все гораздо проще - уравнение теплопроводности. Решили задачу Коши. Но надо продолжать решение и для $t<0$, а это обратно-параболическое уранение. Чтобы решение продолжалось, начальная функция должна быть аналитической. Но этого не достаточно. Спрашивается, для каких аналитических функций решение будет существовать во всей полуплоскости? Точно не для всех.