И снова пресловутая сила натяжения нити...

[Munin]

wrest в сообщении #1179415 писал(а):

Да это Ньютон все запутал, это же он называл центральную силу центростремительной.

И это неправда.

Центральная сила - сила, которая может быть либо притягивающей, либо отталкивающей. Например, электростатическая сила между любыми двумя зарядами - центральная. Смысл понятия "центральная" - коллинеарность силы с направлением на центр: $\vec{F}=k\cdot\vec{r}.$ В теоретической физике чаще всего рассматривается сила, величина которой не зависит от направления: $F(\vec{r})=F(r).$

Если она притягивает (коэффициент между $\vec{F}$ и $\vec{r}$ отрицательный), то называется центростремительной (centripetal).

Если она отталкивает (коэффициент между $\vec{F}$ и $\vec{r}$ положительный), то называется центробежной (centrifugal).

[wide]

Значит так.
Шарик, привязанный ниткой к опоре крутится по кругу, пока нет никакой силы тяжести. Даже нитки нет. Вот он кружится с определенной скоростью, примус починяет. Для такого движения необходимо чтобы к нему была приложена сила, и сила эта должна быть направлена в центр окружности. Почему так происходит? Причина этому 1 закон Ньютона. Если на тело не действует сила, то оно движется равномерно и прямолинейно. Получается, чем больше линейная скорость шарика, тем большую силу необходимо к нему приложить, чтобы "скруглить" траекторию на заданный радиус. Вот и получается, шарик летит прямолинейно, а нитка не дает ему этого делать, она задает радиус окружности, по которому вынужденно движется шарик, т.е. шарик натягивает нитку, в свою очередь нитка тянет шарик к центру. Теперь задаемся определенным радиусом и рассматриваем разные линейные скорости шарика. Мы видим, чем выше скорость, тем сильнее шарик натягивает нитку, т.е. тем больше сила, приложенная к шарику.

Теперь смотрим на все это в гравитационном поле Земли. Шарик раскручиваем в вертикальной плоскости. В нижней точке траектории мы видим, что к нему приложена сила тяжести и сила натяжения нити. Мы уже знаем, что для движения по такой окружности необходима определенная сила, направленная в центр окружности, но сила тяжести направлена в обратную сторону, поэтому мы приходим к выводу, что сила натяжения больше , чем сила натяжения из опыта без гравитации, как раз на величину силы тяжести. Т.е. в данной точке тело хочет двигаться прямолинейно, но сила тяжести отклоняет траекторию наружу окружности, а сила натяжения отклоняет внутрь.

Теперь верхняя точка траектории. Тут сила тяжести приложена к шарику и направленна она к центру окружности. Вспоминаем опять, для движения по заданной окружности с заданной линейной скоростью необходима сила, направленная в центр окружности. Получается, если сила тяжести будет больше необходимой силы, то она сильнее "скруглит" траекторию шарика, и он "провалится" вниз с заданной траектории, в данном случае нет необходимости в силе, приложенной со стороны нитки, и нитка просто провисает. Теперь получилось так, что сила тяжести оказалась такой, как надо для движения по заданной окружности с заданной скоростью. Тут нитка будет опять не натянута, но уже не будет провисать. Ну и случай, когда силы тяжести не достаточно для "скругления" траектории, тогда шарик пытается сойти с траектории, но теперь наружу, чем вызывает натяжение нити, это приводит к нужной добавке силы, и траектория опять становится круговой.

[rustot]

Neinstein в сообщении #1179443 писал(а):

Правда, всё равно пока не дошло... И дело вроде не в 3-ем законе Ньютона. Пусть тело прикреплено к нити, верхний конец нити жёстко закреплён. Тогда на шарик со стороны Земли действует сила тяжести, а со стороны нити — сила натяжения, причём силы эти равны по модулю и противоположны по направлению, т.е. сила натяжения уравновешивает силу тяжести. А теперь случай с центростремительным ускорением. Что изменилось? Добавилось это самое ускорение, но сила тяжести снова стремится притянуть тело к Земле, а если у меня не будет силы, которая не сможет её скомпенсировать, нить просто порвётся, разве нет?

Многие силы возникают в результате обратной связи и их по этой причине в решении задач просто приравнивают чему-то и иногда неочевидно почему именно этой величине

Ну допустим кирпич лежит на земле. На него действуют силы притяжения со стороны земли, луны, солнца, сила давления ветра, еще какие то про которые все понятно откуда они берутся и почему равны вот таким величинам. Но еще действует загадочная "сила реакции опоры", сила упругости со стороны материала пола. И она именно такой величины что в сумме со всеми остальными силами придает кирпичу в точности то же ускорение которое уже есть у опоры. Если не задумываться откуда эта сила берется, как формируется, то кажется "загадочным" такое ее равенство именно "нужной" величине.

Представьте что в начальный момент времени силы этой просто нет, кирпич удерживали на бесконечно малом расстоянии от пола и вот его отпустили. Под действием всех сил он начинает двигаться по какой то сложной траектории, но эта траектория пересекает поверхность опоры, в результате он начинает проваливаться сквозь опору, сминая ее, формируя в ней силу упругости пропорциональные ее деформации. И этот процесс будет продолжаться как раз до тех пор пока эта сила упругости не дорастет до такой величины, что кирпич под действием всей суммы сил включая эту новую не перестанет дальше углубляться в пол, а значит начнет двигаться с той же скоростью и ускорением что и пол.

Вот весь этот сложный процесс формирования "нужной" силы за счет обратной связи в задачах и описывают коротко "поскольку санки скользят по горке, то сила реакции со стороны горки имеет такую величину чтобы скорость санок была направлена параллельно поверхности горки" или "поскольку шарик подвешен на нити, то сила со стороны нити растет до такой величины чтобы скорость шарика оказалась перпендикулярной нити, поскольку дано что нить длины не меняет

[Neinstein]

wide,

так если нить провисает в верхней точке, то это равносильно тому, что сила её натяжения равна нулю, так ведь? Но и по рисунку, и по результату, да и в целом по логике это же не так: есть нить и есть груз, закреплённый на нити, а раз мы в поле действия силы тяжести, то и нить в любом случае должна как-то на это реагировать. Да и саму картину происходящего не понимаю по-прежнему. Пусть первоисточником "возмущения" является скорость, которую шарик получил извне. Пусть и поля силы тяжести нет, есть только нить и шарик на ней. Тогда сила натяжения нити и является причиной стремления шарика к центру: она просто не позволяет ему двигаться равномерно и прямолинейно. Теперь добавляем поле силы тяжести. Эта сила при любых обстоятельствах направлена вниз, Земля так и тянет к себе. А сила натяжения нити в нижней точке направлена к центру, т.е. в данный момент центростремительное движение обуславливается разницей силы натяжения нити и силы тяжести. Далее попадаем в верхнюю точку окружности: тут у нас по-прежнему должны же действовать те же силы: нить же по-прежнему присутствует, да и Земля никуда не убежала. Но сила тяжести -- величина постоянная, величины центростремительного ускорения и массы шарика тоже константы в данном случае, но теперь сила тяжести "смотрит" в направлении центростремительного ускорения, а для того, чтобы значение ускорения осталось тем же самым, нужно вычесть силу натяжения нити, т.е. она в верхней точке должна быть направлена вверх. А на рисунке (и, собственно говоря, в ответе) она сонаправлена с силой тяжести. Почему так? Та же ситуация с наклонной плоскостью. Чего я не понимаю?

[StaticZero]

Neinstein в сообщении #1179748 писал(а):

нить в любом случае должна как-то на это реагировать.

На гвозде висит нить длиной $\ell$, на которой закреплён небольшой шарик. Шарик пнули горизонтально со скоростью $\sqrt{\dfrac{7 g \ell}{2}}$. Опишите движение шарика в верхней части его траектории.

Neinstein в сообщении #1179748 писал(а):

т.е. она в верхней точке должна быть направлена вверх

И как вы это себе представляете?
Вообще говоря, тут уже говорили, что просто сила натяжения не совсем верно говорить. Потому что на гвоздь действует сила, направленная вдоль нити по направлению к шарику. Если гвоздь плохо закреплён, то он легко может разболтаться и выпасть.

Neinstein в сообщении #1179748 писал(а):

центростремительное движение обуславливается разницей силы натяжения нити и силы тяжести

...центростремительное ускорение равно сумме проекций силы натяжения и силы тяжести на линию, соединяющую гвоздик и шарик. Ну, так обычно пишут (и вы тоже). Только когда сила натяжения обращается в нуль, ускорение шарика перестаёт быть центростремительным и становится абы каким (то есть определяется уже не приложенной связью -- её уже нет! -- а прочими силами, в данном случае это только сила тяжести и больше ничего). Тогда и формула, так написанная, полностью теряет всякий смысл.

Вот если бы у вас вместо нити была бы пружина очень большой жёсткости, то в тех местах, где сила натяжения нити обратилась бы в нуль, сила упругости пружины (действующая на шарик!) просто поменяла бы свой знак. Нить -- это не пружина, она не может отталкивать, она может лишь удерживать.

Neinstein в сообщении #1179748 писал(а):

чтобы значение ускорения осталось тем же самым

Зачем? Почему? Откуда вы взяли такое условие?..

Neinstein в сообщении #1179748 писал(а):

нить же по-прежнему присутствует

Только если вы гарантируете, что $T > 0$. Иначе её нет.

Neinstein в сообщении #1179748 писал(а):

Почему так?

Других вариантов нет. Нить либо провисает, либо натянута.

[Dragon27]

Neinstein в сообщении #1179748 писал(а):

величины центростремительного ускорения и массы шарика тоже константы в данном случае

Центростремительное ускорение равно квадрату скорости на радиус окружности движения. Если в разных точках одной и той же окружности шарик движется с разной скоростью (как в этой задаче), то и центростремительное ускорение не постоянно.

[Neinstein]

StaticZero,

Цитата:

Зачем? Почему? Откуда вы взяли такое условие?..

Это условие я взял из предположения, что траектория, описываемая шариком, представляет собой окружность. Сейчас, правда, ещё раз посмотрел решение. Я был не прав: закон сохранения энергии никто не отменял, скорость и впрямь в верхней точке будет другой. Остаётся лишь один вопрос: в этом решении приводится диаграмма сил, действующих на шарик в верхней точке, там искомая сила натяжения нити направлена к центру. А из сказанного я понимаю, что в этой точке данная сила равна нулю. Решение, если что, лежит тут: http://web.mit.edu/8.01t/www/materials/ ... s06sol.pdf (задача на странице 7). Такую же манеру поведения силы натяжения я встретил и в задаче с наклонной плоскостью.

А по поводу случая с гвоздём -- как понимаю, во всех задачах предполагается, что опора очень жёсткая. Если, конечно, не дано обратное.

[Dragon27]

Neinstein в сообщении #1179801 писал(а):

А из сказанного я понимаю, что в этой точке данная сила равна нулю.

Исходите из второго закона Ньютона - сумма сил равна массе на ускорение. Если ускорение в этой точке (а оно направлено точно вниз), которое имеет тело, равно ускорению свободного падения - значит сила тяжести его полностью обеспечивает (и натяжение верёвки равно нулю). Если ускорение больше ускорения свободного падения - значит силы тяжести недостаточно для его обеспечения, и есть какая-то ещё сила, которая дополнительно тянет тело вниз. Это, разумеется, натяжение верёвки. Если ускорение меньше ускорения свободного падения, значит какая-то сила толкает тело вверх (против силы тяжести). Верёвка такого не может, как мы уже выяснили, значит такой ситуации быть не может (тело не долетит до верха).

[wide]

Neinstein в сообщении #1179748 писал(а):

... Но сила тяжести -- величина постоянная, величины центростремительного ускорения и массы шарика тоже константы в данном случае, но теперь сила тяжести "смотрит" в направлении центростремительного ускорения, а для того, чтобы значение ускорения осталось тем же самым, нужно вычесть силу натяжения нити, т.е. она в верхней точке должна быть направлена вверх. А на рисунке (и, собственно говоря, в ответе) она сонаправлена с силой тяжести. Почему так? Та же ситуация с наклонной плоскостью. Чего я не понимаю?

Нет, не так. Еще раз посмотрите на верхнюю точку траектории.
Длина нити, т.е. радиус кривизны траектории равен $R$, при заданной скорости $v$ для движения по такой траектории необходимо ускорение $a_c=\dfrac{v^2}{R}$, т.е. к телу должна быть приложена центростремительная сила $F_c=m\dfrac{v^2}{R}$

Есть три варианта (рассматриваем только верхнюю точку):

1. Сила тяжести $F_g$ больше, чем сила $F_c$, необходимая для движения по заданной окружности. В этом случае тело будет двигаться с ускорением $g > a_c$, т.е. радиус кривизны траектории уже будет:
$g=\dfrac{v^2}{R_g} \Rightarrow R_g=\dfrac{v^2}{g} \Rightarrow R_g < R$, т.е. при таких условиях радиус кривизны траектории меньше, чем длина веревки, т.е. веревка провисает, т.е. ей нет необходимости натягиваться, даже более того - ее просто никто не успевает натянуть и получается $T = 0$.

2. $F_g = F_c$, т.е. $g = a_c$, $R_g = R$, т.е. нитка не провисает и не натягивается, т.к. сила притяжения делает так, что тело движется именно по траектории радиуса $R$, и $F_g+T = F_c, (T=0)$. (Но такая ситуация только в верхней точке, чуть левее или правее проекция силы тяжести на радиус вектор из центра вращения будет меньше требуемой $F_c$).

3. $F_g < F_c$, т.е. $g < a_c$, $R_g > R$. Вот тут и срабатывает обратная связь, про которую вам писал rustot. Т.к. при таких условиях тело пытается выйти на другую "орбиту", при этом и происходит натяжение веревки и получается $F_g+T = F_c$. Натяжение $T$ "помогает" силе тяжести дотянуть до требуемого значения $F_c$ для заданных $v$ и $R$.

[Neinstein]

Dragon27,
wide,

вот в таком случае всё понятно. И исходя из этого я понимаю, что сила натяжения нити равна нулю. Но по приведённой ссылке приводится диаграмма сил как раз в вершине окружности:

Цитата:

A free-body diagram for the particle at the top of the circle is

Собственно говоря, после нахождения скорости в вершине из закона сохранения энергии, находят силу натяжения нити в этой точке из 2-ого закона Ньютона, т.е. в проекциях получается у них следующее:

$F = T + m \cdot g$

Вот почему там утверждается, что в вершине окружности есть сила натяжения, отличная от нуля, причём сонаправленная с силой тяжести?
Или же это косяк авторов? Но задача MIT'овская, сомневаюсь, что у них косяк. Скорее, я чего-то не понимаю... Говорят же конкретно о вершине.

[Dragon27]

Neinstein в сообщении #1179819 писал(а):

И исходя из этого я понимаю, что сила натяжения нити равна нулю.

А я вот не понимаю, как вы так понимаете.

[wide]

Neinstein в сообщении #1179819 писал(а):

вот в таком случае всё понятно. И исходя из этого я понимаю, что сила натяжения нити равна нулю. Но по приведённой ссылке приводится диаграмма сил как раз в вершине окружности: ...

Значит вам еще не все понятно.
Если в верхней точке скорость такова, что силы тяжести не достаточно для движения по заданному радиусу, то куда должна быть направлена добавочная сила, приложенная к телу, по силе тяжести или против?

[Neinstein]

Dragon27,
wide,

в таком случае сила натяжения будет сонаправлена с силой тяжести, чтобы шарик продолжал двигаться по окружности. Т.е. в решении всё верно. Складывается следующая ситуация: в нижней точке есть центростремительная сила, сила тяжести и сила натяжения, в этой точке сила натяжения направлена в центр окружности, сила тяжести -- от центра, в верхней точке -- скорость меньше, чем в начальный момент в силу закона сохранения энергии (внешних сил нет), сила тяжести в этой точке сонаправлена с центростремительной силой, но поскольку скорость уменшилась, а радиус окружности остаётся тем же, то самое время вспомнить о том, что у нас ещё и нить есть, так что сила натяжения нити направлена в ту же сторону, что и ускорение, и сила тяжести. Теперь правильно понял? И вообще когда речь заходит о движении по окружности, то нужно отталкиваться именно от этого условия, т.е. от того, что у нас есть центральная сила? Раньше воспринимал ускорение как результат действия сил, а тут получается, что уже есть сила, обеспечивающая ускорение.

[Munin]

Neinstein в сообщении #1179934 писал(а):

Раньше воспринимал ускорение как результат действия сил, а тут получается, что уже есть сила, обеспечивающая ускорение.

Получается, вы только отдаляетесь от правильного понимания механики.

Neinstein в сообщении #1179934 писал(а):

в нижней точке есть центростремительная сила, сила тяжести и сила натяжения

Нет. Физически в нижней точке есть только сила тяжести и сила натяжения нити. И вместе складываясь, они дают вам центростремительную силу.

Сравните две фразы:

"Мама принесла три яблока, два банана и пять фруктов."
"Мама принесла три яблока и два банана - всего пять фруктов."

Их сложно отличить?

[Neinstein]

Munin,

т.е. следствием действия двух сил, тяжести и натяжения нити, в данном случае является возникновение центростремительной силы. Не получается представить, как одна из этих сил может быть больше другой? Почему-то всё время представляешь статический случай, когда обе силы равны друг другу по модулю и противоположно направлены. Здесь всё же следует отталкиваться от того, что шарик обладает некоторой начальной скоростью $\vec{v_0} = (\vec{a} - \vec{g}) \cdot t $, тогда центростремительное ускорение обеспечивается тем, что сила натяжения нити больше силы тяжести?
А в верхней точке как правильно рассуждать? Если я иду следующим путём -- из закона сохранения энергии следует, что скорость уменьшится, конкретно в этом случае будет $v_t = \sqrt{v_0^2-4 \cdot g \cdot l}$, траектория -- окружность радиуса $l$, поэтому для продолжения движения по окружности того же радиуса сила натяжения нити должна быть сонаправлена с центростремительной и силой тяжести -- то я подгоняю результат действия силы натяжения нити и силы тяжести под предлогом того, что центростремительная сила должна остаться той же самой...