Неравенство для IMO

[TR63]

Rak so dna, раз есть контрпример, значит моё рассуждение ошибочно, и причина ошибки находится там, где я и подозревала.
Rak so dna, спасибо.

[Rak so dna]

Rak so dna в сообщении #1178917 писал(а):

Нам надо доказать, что

$$-11c^2(a+b)+8c(a^2+ab+b^2)+4(a^3+b^3)+19ab(a+b)\geq8((a+b)^2-c^2)\sqrt{2ab+ac+bc}$$

Поразительно, но

Rak so dna в сообщении #1178917 писал(а):

Рассмотрим 1-й случай $a+b\geq c$

можно доказать в одну строчку!

$$[-11c^2(a+b)+8c(a^2+ab+b^2)+4(a^3+b^3)+19ab(a+b)]^2-64((a+b)^2-c^2)^2(2ab+ac+bc)=$$

$(a+b-c)[a(c-a)^2(64c^2+(48a+33b)c+16a^2)+b(c-b)^2(64c^2+(48b+33a)c+16b^2)+(a-b)^2(26c^3+5(a+b)c^2+5cab+7a^2b+7ab^2)]+$$(c-a)^2(3a^2c^2+(a^2b+b^3)c+2ab^3)+(c-b)^2(3b^2c^2+(b^2a+a^3)c+2ba^3)+ab(a-b)^2(a^2+3ab+b^2)$

[Rak so dna]

Rak so dna в сообщении #1178917 писал(а):

Нам надо доказать, что

$$-11c^2(a+b)+8c(a^2+ab+b^2)+4(a^3+b^3)+19ab(a+b)\geq8((a+b)^2-c^2)\sqrt{2ab+ac+bc}$$

Есть элементарное доказательство в одну строчку:

$$-11c^2(a+b)+8c(a^2+ab+b^2)+4(a^3+b^3)+19ab(a+b)-8((a+b)^2-c^2)\sqrt{2ab+ac+bc}=$$

$$\left(\sqrt{2ab+ac+bc}-2a\right)^2\frac{a^2(a+27b)}{18(a+b)^2}+\left(\sqrt{2ab+ac+bc}-2b\right)^2\frac{b^2(b+27a)}{18(a+b)^2}+$$

$$\left(\sqrt{2ab+ac+bc}-b-a\right)^2\frac{(a^2+b^2)\sqrt{2ab+ac+bc}+a^2b+ab^2}{3(a+b)^2}+$$

$$\left((3a-2b)\sqrt{2ab+ac+bc}-3a^2+b^2\right)^2\frac{6\sqrt{2ab+ac+bc}+3a+11b}{18(a+b)^2}+$$

$$\left((3b-2a)\sqrt{2ab+ac+bc}-3b^2+a^2\right)^2\frac{6\sqrt{2ab+ac+bc}+3b+11a}{18(a+b)^2}+$$

$$\left(\sqrt{2ab+ac+bc}-a-b\right)^4\frac{2\sqrt{2ab+ac+bc}+5(a+b)}{3(a+b)^2}+$$

$$\left(\sqrt{2ab+ac+bc}-a-b\right)^2\frac{2c(33\sqrt{2ab+ac+bc}+21(a+b))}{9(a+b)}$$