Две задачи с треугольниками

[DrVirogov]

1. На сторонах треугольника, как на гипотенузах, построены равнобедренные прямоугольные треугольники. Таким образом, против каждой вершины треугольника получили по точке. Доказать, что отрезок, соединяющий две полученные точки равен и перпендикулярен отрезку, соединяющему оставшуюся точку с противолежащей вершиной треугольника.

2. На сторонах треугольника построены равносторонние треугольники. Таким образом, против каждой вершины треугольника получили по точке. Доказать, что отрезки, соединяющие получнные точки с противолежащими вершинами треугольника равны и образуют между собой углы 120.

[TOTAL]

DrVirogov в сообщении #1179135 писал(а):

1. На сторонах треугольника, как на гипотенузах, построены равнобедренные прямоугольные треугольники. Таким образом, против каждой вершины треугольника получили по точке. Доказать, что отрезок, соединяющий две полученные точки равен и перпендикулярен отрезку, соединяющему оставшуюся точку с противолежащей вершиной треугольника.

Не доказать, т.к. это неверно.

[DrVirogov]

Цитата:

Не доказать, т.к. это неверно.

Контрпример plz.

[TOTAL]

DrVirogov в сообщении #1179141 писал(а):

Контрпример plz.

Пожалуйста:
1. На сторонах треугольника, как на гипотенузах, построены равнобедренные прямоугольные треугольники. Таким образом, против каждой вершины треугольника получили по две точки.

[DrVirogov]

Теперь вижу, что формулировка была небрежной. Спасибо за Ваше замечание. Сделаю необходимое уточнение:

На сторонах треугольника, как на гипотенузах, построены равнобедренные прямоугольные треугольники во внешнюю по отношению к исходному треугольнику сторону. Вариант с построеним во внутреннюю сторону тоже проходит.

Аналогичное уточнение требуется и во второй задаче.

[DeBill]

Комплексные числа....
1. Если $ A=0, B = b, C =c$, то построенные точки, соседние с $A$, равны $x=\frac{1+i}{2}b$ и $y = \frac{1-i}{2}c$ соответственно, а третья равна
$z = b+ (c-b)\cdot \frac{1+i}{2}= c\frac{1+i}{2} + b\frac{1-i}{2}$. Видим, что $x-y$ получается из $z$ умножением на $i$, шо и требувалося.
(Если у $i$ поменять знак, получим решение для другой тройки точек)

[DrVirogov]

DeBill в сообщении #1179246 писал(а):

Комплексные числа....
1. Если $ A=0, B = b, C =c$, то построенные точки, соседние с $A$, равны $x=\frac{1+i}{2}b$ и $y = \frac{1-i}{2}c$ соответственно, а третья равна
$z = b+ (c-b)\cdot \frac{1+i}{2}= c\frac{1+i}{2} + b\frac{1-i}{2}$.

Выбрав $ B = 1, C = i$, получим $x=\frac{1+i}{2}$ и $y = \frac{1-i}{2}i$ и... что-то пошло не так...

[DeBill]

DrVirogov
Разве?
Это - равнобедрый прямоугольный (при такой ориентации - строим "внутрь").
Имеем: ну конешно, две построенные точки совпали, а третья совпала с третьей вершиной. $0=0$ - а эт правда.

-- 25.12.2016, 03:17 --

Вааще, чем хороша алгебра - что ей по барабану всяки расположения, вырожденность, и т.п. -
все едино....

[DrVirogov]

Алгебра - это просто замечательно! Только один недостаток - решение получается механически, что называется ни уму ни сердцу. На мой взгляд, в подобных задачах интересен не столько факт получения доказательства, сколько процесс его получения. Согласитесь, что знание того, что некоторые отрезки равны и даже образуют между собой известные углы не очень полезно. Это вам не теорема Пифагора.
Утверждение первой задачи легко получается при помощи специализации теоремы Ван-Обеля для четырёхугольников (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%92%D0%B0%D0%BD-%D0%9E%D0%B1%D0%B5%D0%BB%D1%8F): если одну из сторон четырехугольника стянуть в точку, то получится как раз конфигурация задачи.