Замена переменных у Фихтенгольца

[loser228]

Есть один момент в книжке Фихтенгольца, который никак не могу понять.

(Оффтоп)

В частности когда идёт подсчет второй производной по х , каким образом поменяли порядок переменной x и t при взятии частных производных для z, ведь у нас исходная функция зависит от x и y ?

[mihiv]

Коэффициенты $A,B,C,D$ зависят только от производных функций $\varphi ,\psi $, то есть от того, какая замена переменных производится, но не от вида функции $z$. Поэтому, если мы вместо $z$ возьмем любую другую функцию переменных $x, y$, например, $f(x,y)$,то произведя эту же замену переменных, мы получим выражения для $f_x, f_y$ с теми же коэффициентами $A, B, C, D$.
А дальше полагаем $f(x, y)=\dfrac {\partial z}{\partial x}$.

[loser228]

mihiv в сообщении #1177282 писал(а):

Коэффициенты $A,B,C,D$ зависят только от производных функций $\varphi ,\psi $, то есть от того, какая замена переменных производится, но не от вида функции $z$. Поэтому, если мы вместо $z$ возьмем любую другую функцию переменных $x, y$, например, $f(x,y)$,то произведя эту же замену переменных, мы получим выражения для $f_x, f_y$ с теми же коэффициентами $A, B, C, D$.
А дальше полагаем $f(x, y)=\dfrac {\partial z}{\partial x}$.

Спасибо за разъяснения. То есть как я понял, при замене лишь независимых переменных (без изменения функции) надо избавиться от х, у , ..., а перейти к новым, т. е. z спокойно может существовать в новом выражении. И правильно ли я понимаю, что при обратной замене ( когда есть выражения t(x,y) и u(x,y)) той же самой буквой z обозначается функция z (t, u), как и z(x, y) ? Ведь соотношения между x, y и u, t вполне могут быть различны .

[mihiv]

Здесь есть некоторая условность, так как после замены переменной мы на самом деле получим такую функцию от $t, u: z(x(t, u),y(t, u))=\bar z(t, u)$. Делая обратную замену, получим , соответственно: $\bar z(t(x, y), u(x, y))=z(x, y)$.

[loser228]

Просто этот момент как-то не очень в Фихтенгольце описан. Так получается (судя по обозначениям), что всюду считаем частные производные у одной и той же функции z, которая изначально зависит от х и у, но к началу следующей страницы она(функция) оказывается зависимой от новых аргументов, а х и у входят как в сложную функцию.

[Lia]

loser228
Замечание за неоформление формул $\TeX$ом.