Школьная задача про лыжника

[physchemist]

Лыжник массой 80 кг поднимается, держась за движущийся трос подъёмника, на склон высотой 30 м. При этом совершается работа 32 кДж. Какую скорость наберёт лыжник при спуске по тому же пути до исходной точки? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Почему совершаемая подъёмником работа (32 кДж) не равна изменению потенциальной энергии лыжника в поле силы тяжести (23,5 кДж)? Из-за сил трения? Тогда правильно ли я решаю?

Пусть в наивысшей точке скорость лыжника равна нулю. Тогда суммарная работа всех сил, действующих на лыжника за время подъёма, равна нулю:
$A + A_{\text{тр}} - mgh = 0,$
откуда
$A_{\text{тр}} = mgh - A.$
Тогда для процесса спуска (по тому же пути) получаем:
$\frac{mv^2}{2} = mgh + A_{\text{тр}} = 2mgh - A.$
Отсюда
$v = \sqrt{\frac{2(2mgh-A)}{m}},$
т.е. 19,4 м/с. Верно?

[miflin]

Хорошая иллюстрация того, как ошибочные промежуточные формулы приводят, в конце концов, к правильному ответу.
Арифметику не проверял.
Разберитесь со знаками в выкладках. Почему-то у Вас сила трения не противодействует движению, а помогает...

[physchemist]

miflin в сообщении #1178739 писал(а):

Разберитесь со знаками в выкладках. Почему-то у Вас сила трения не противодействует движению, а помогает...

Что не так со знаками? Работа силы трения отрицательна, как и должно быть:
$A_{\text{тр}} = mgh - A = -8,48\text{ кДж.}$
Составляя уравнения, я исходил из того, что суммарная работа ВСЕХ сил, действующих на тело, равна приращению его кинетической энергии.

[miflin]

Как-то не совсем прозрачно...
Для работы силы трения Вы подразумеваете минус, а для работы силы тяжести на подъеме вводите его явно...
Я бы оформил так:

$A - A_{\text{тр}} - mgh = 0,$

$A_{\text{тр}} = A-mgh$

$\frac{mv^2}{2} = mgh - A_{\text{тр}} = 2mgh - A.$

$v = \sqrt{\frac{2(2mgh-A)}{m}},$

Хотя, быть может, это "вкусовщина".