Сходимость рядов

[Alisa_3]

Помогите, пожалуйста, с решением рядов. Не могу понять по какому признаку пытаться доказать сходимость/расходимость рядов.

1) $\sum_{n=1}^\infty\frac{\ln{(1+\frac{n}{n^2+1}})}{n+1}$

2) $\sum_{n=1}^\infty\sin(\frac{1}{n})\cdot\ln({n+1})$


Пробовала использовать признак Д'Аламбера (давал 1 в обоих случаях), а также предельный признак сравнения, который приводил либо к бесконечности, либо к нулю. Второй ряд пыталась сравнить с расходящимся $\sin(\frac{1}{n})$, но конечного числа не получила.

Интегральный признак Коши рассматривала, но то ли не разобралась в нём, то ли не его надо использовать, но он не помогал. Не могла взять интеграл.

Пробовала также использовать эквивалентность.

[Otta]

Признак Даламбера неуместен при степенной и логарифмической зависимости общего члена. При аккуратном использовании получится единица. И что?

Какие еще признаки Вам известны?

[ewert]

Alisa_3 в сообщении #1178463 писал(а):

Не могу понять по какому признаку пытаться доказать сходимость/расходимость рядов.

1) $\sum_{n=1}^\infty\frac{\ln{(1+\frac{n}{n^2+1}})}{n+1}$

2) $\sum_{n=1}^\infty\sin(\frac{1}{n})\cdot\ln({n+1})$

1) по признаку сравнения, который предельный

2) по 1-му зампределу + признаку сравнения, который не предельный

Alisa_3 в сообщении #1178463 писал(а):

Второй ряд пыталась сравнить с расходящимся $\sin(\frac{1}{n})$, но конечного числа не получила.

Тут возможны два ответа.

1. Ну не получили -- так и радуйтесь.

2. А что за число, собственно, Вы пытались получить?...

[Alisa_3]

Знаю признак Коши, интегральный признак Коши, два признака сравнения.


Спасибо за помощь! Буду пробовать дальше.

Любо конечное число пыталась получить.

-- 20.12.2016, 14:08 --

Простите, но если мы в первом случае используем для сравнения ряд с $\frac{1}{n+1}$, то получим ноль.
Я думала попробовать сравнить с ряом с $\frac{1}{n^{2}-1}$ , но ведь такой ряд начинается с $n=2$, а не с $n=1$
Это не повлияет ни на что? Так можно?

[bot]

Alisa_3 в сообщении #1178562 писал(а):

Я думала попробовать сравнить с рядом с $\frac{1}{n^{2}-1}$ , но ведь такой ряд начинается с $n=2$, а не с $n=1$

Так начните его с двойки или вообще выбросьте любое конечное число противных Вам членов - это ведь на сходимости не скажется.
А чем Вам -1 в знаменателе так дорога?

[Alisa_3]

bot в сообщении #1178596 писал(а):

Alisa_3 в сообщении #1178562 писал(а):

Я думала попробовать сравнить с рядом с $\frac{1}{n^{2}-1}$ , но ведь такой ряд начинается с $n=2$, а не с $n=1$

Так начните его с двойки или вообще выбросьте любое конечное число противных Вам членов - это ведь на сходимости не скажется.
А чем Вам -1 в знаменателе так дорога?

Пыталась с помощью него убрать знаменатель.

Сейчас пробую оба ряда решить - в первом постоянно получается либо ноль, либо бесконечность.

[Otta]

Вы бы хоть писали, что делаете. Ничего ж непонятно.

[Someone]

Alisa_3 в сообщении #1178603 писал(а):

Сейчас пробую оба ряда решить - в первом постоянно получается либо ноль, либо бесконечность.

Во-первых, приведите, пожалуйста, точные формулировки тех признаков сходимости, которыми Вы пытаетесь воспользоваться.
Во-вторых, покажите конкретно, что именно Вы делаете. Формулами, а не неопределёнными "пыталась убрать знаменатель".
В-третьих, почему Вы думаете, что $0$ и $\infty$ мешают выяснить сходимость ряда?