Не вычисляется определенный интеграл

[marij]

Совсем потерял рассудок пытаясь вычислить с точностью до целых хотя бы вот этот вот определенный интеграл. $ \int\limits_{0}^{1} {e^{x+\sin(10000x)} }dx $. Никакие квадратурные формулы не помогли потому что оценка производной подынтегральной функции огромное число в связи с чем и количество разбиений $ N $ большое и нереально вручную вычислять. Даже всякие сайты онлайн решений не дают ответа. Неужели все так плачевно

[iifat]

Не понимаю. На дугу синуса ну пускай 10 точек — получится 100000 отрезков. Вполне подъёмно должно быть для современного компьютера. Вы какими способами пробовали, если поконкретнее?

[marij]

Вручную пытался. Хотел бы оптимальный способ разузнать чтобы без машин.

[Someone]

1. Подынтегральную функцию запишем в виде произведения $e^x\cdot e^{\sin 10000x}$.
2. Промежуток интегрирования разобьём на тьму отрезков, длины которых равны периоду $\sin 10000x$, и ещё один отрезок меньшей длины.
3. Интегралы по тьме отрезков образуют геометрическую прогрессию, поэтому вычислим с достаточной точностью интеграл по первому из них и просуммируем прогрессию.
4. Вычислим с достаточной точностью интеграл по оставшемуся в конце отрезку и добавим к сумме геометрической прогрессии.

[marij]

Спасибо за идею.Буду решать.

[TOTAL]

Someone в сообщении #1178277 писал(а):

1. Подынтегральную функцию запишем в виде произведения $e^x\cdot e^{\sin 10000x}$.
2. Промежуток интегрирования разобьём на тьму отрезков, длины которых равны периоду $\sin 10000x$, и ещё один отрезок меньшей длины.
3. Интегралы по тьме отрезков образуют геометрическую прогрессию, поэтому вычислим с достаточной точностью интеграл по первому из них и просуммируем прогрессию.
4. Вычислим с достаточной точностью интеграл по оставшемуся в конце отрезку и добавим к сумме геометрической прогрессии.

Откуда следует номер $3$?

[Sicker]

Можно просто растянуть отрезок, равный периоду нашего синуса так, чтобы синус превратился в нормальный, и потом проинтегрировать его, умноженному на экспоненту (которая всюду будет почти единицей). А дальше, как заметил Someone, геометрическая прогрессия, правда можно взять готовую формулу для геометрической прогрессии, и оценить точность.
P.S. Ну и, разумеется, во столько же раз уменьшить сумму, во сколько раз растянули отрезок.

-- 19.12.2016, 13:56 --

Интеграл можно посчитать вручную с любой степенью точности.

-- 19.12.2016, 13:56 --

Правда если пределы интегрирования были бы от минус бесконечности)

-- 19.12.2016, 14:30 --

Ой нет, короче интеграл можно спокойно вычислить численно с точностью до $10^{-4}$

-- 19.12.2016, 14:41 --

А не, можно с любой точностью, короче Someone все расписал.

[wrest]

Я бы по рабоче-крестьянски считал так.

1. Берем интеграл $\int\limits_{0}^{2\pi}e^1-e^{-1}dx$. Он равен $2\pi(e-e^{-1})$
2. Берем интеграл $\int\limits_{0}^{2\pi}e^{\sin x}-e^{-1}dx$. Аналитически он не берется, поэтому считаем численно (или роемся в таблицах значений функций Бесселя).
3. Делим интеграл из 2. на интеграл из 1., получаем $\dfrac{\int\limits_{0}^{2\pi}e^{\sin x}-e^{-1}dx}{\int\limits_{0}^{2\pi}e^1-e^{-1}dx}$
4. Берем интеграл $\int\limits_0^1e^{x+1}dx = e(e-1)$
5. Берем интеграл $\int\limits_0^1e^{x-1}dx = e^{-1}(e-1)$
6. Вычитаем из интеграла 4. интеграл 5., получаем $\int\limits_0^1e^{x+1}dx-\int\limits_0^1e^{x-1}dx$
7. Умножаем разность из 6. на частное из 3., получаем:
$(\int\limits_0^1e^{x+1}dx-\int\limits_0^1e^{x-1}dx)\dfrac{\int\limits_{0}^{2\pi}e^{\sin x}-e^{-1}dx}{\int\limits_{0}^{2\pi}e^1-e^{-1}dx}$
8. Прибавляем интеграл из 5. к произведению из 7., получаем ответ:
$\int\limits_0^1e^{x-1}dx+(\int\limits_0^1e^{x+1}dx-\int\limits_0^1e^{x-1}dx)\dfrac{\int\limits_{0}^{2\pi}e^{\sin x}-e^{-1}dx}{\int\limits_{0}^{2\pi}e^1-e^{-1}dx} $

Это и есть ответ -- по целому числу периодов синуса, к нему надо прибавить остаток, но при длине остатка порядка $10^{-4}$ прибавка будет в третьем знаке после запятой, можно наверное и не заморачиваться.

Все численные расчеты и ответ убрал, оставил только формулы, расчеты оставляю ТС-у. Упрощать формулы тоже не стал, также оставляю это ТС-у.

Почему так можно делать -- потому что очень много периодов синуса там, от периода к периоду экспонента растет не быстро, так что можно вот так приближенно и посчитать.

А ну и это, вестимо, предел при периоде синуса стремящемся к нулю.

[Sicker]

Мой метод это Someone + растяжение периода, чтобы считать интеграл с синусом с обычной точностью.
Кстати, если у нас частота скажем невообразимое число $A$, Гуголплекс скажем, то максимальная точность вычисления интеграла $\frac{1}{A}$

[marij]

Да, растягивая получается сумма 1591 членов геометрической прогрессии плюс остаток.

[DeBill]

wrest
А у меня почему то получилось $\frac{e-1}{2\pi}\cdot\int\limits_{0}^{2\pi} e^{\sin t} dt$ ....

-- 19.12.2016, 22:09 --

А, это одно и то же...

[Sicker]

Там все таки желательно точно просуммировать последовательность, а интеграл это сумма с точностью до $10^{-4}$

[DeBill]

Sicker
Точно - дохлый номер.
Если надо типа $10^{-8}$ - придется по Тейлору раскладывать (хотя бы 2 члена там и тут), и хвост (10000 не делится на $2\pi$ нацело, однако) смотреть.

[wrest]

DeBill в сообщении #1178404 писал(а):

wrest
А у меня почему то получилось $\frac{e-1}{2\pi}\cdot\int\limits_{0}^{2\pi} e^{\sin t} dt$ ....

-- 19.12.2016, 22:09 --

А, это одно и то же...

Ну я не стал упрощать, чтобы понятен был ход рассуждений - берём оценку сверху, вычитаем оценку снизу и т.п.
Ну да, оно там все упрощается, я думал ТС это сделает сам.

[DeBill]

Если коротко изложить даденые выше рекомендации, будет
($L=10000, n = [\frac{L}{2\pi}], Hvost=L-2\pi \cdot n$)
$I=$ (замена $Lx=t$) $=\frac{1}{L} \int\limits_{0}^{L} e^{\frac{t}{L}+ \sin t} dt = \frac{1}{L} (\sum\limits_{k=0}^{n-1}\int\limits_{0}^{2\pi} e^{\frac{t}{L}}\cdot e^{\frac{2\pi k}{L}}\cdot e^{\sin t} dt + \int\limits_{0}^{Hvost}e^{\frac{t}{L}}\cdot e^{\frac{2\pi n}{L}}\cdot e^{\sin t} dt )$
Суммируя прогрессию, получим дробь $\frac{e^{2\pi \frac{n}{L}}-1}{e^{\frac{2\pi}{L}}-1}$. Хорошо, что снаружи есть $L$ в знаменателе.
Вот теперь и надо в знаменателе - пару три членов от Тейлора, Для $e^{\frac{t}{L}}$ -два, $e^{2\pi \frac{n}{L}} = e^1 +$ адын член, ну , и у хвоста, аналогично, под интегралом по два члена у сомножителей взять....
Муторно, вобщем...