Какой НОД у всех чисел данного вида?

[Ktina]

а) Докажите, что для любых целых чисел $a, b, c, d$ число

$$abcd(a^2-b^2)(a^2-c^2)(a^2-d^2)(b^2-c^2)(b^2-d^2)(c^2-d^2)$$

кратно 2520.

б) А какой НОД у всех чисел данного вида?

[whitefox]

Так как для любого целого $x$ верно:

$x^2\equiv0,1\pmod4$
$x^2\equiv0,1\pmod3$
$x^2\equiv0,1,4\pmod5$
$x^2\equiv0,1,2,4\pmod7$

то все такие числа кратны $2^83^45^27=3628800.$

Выбрав $a=1,b=2,c=3,d=4$ можно убедиться, что других общих простых делителей эти числа не имеют.

UPD: исправил степень двойки.

[Ktina]

whitefox
Большое спасибо!
А мне показалось, что $10!$ должно получиться

[whitefox]

Ktina в сообщении #1178207 писал(а):

А мне показалось, что $10!$ должно получиться

$\{4,5,6,9\}$ дают только седьмую степень двойки, так что 10! получиться не может. (Ошибка: степень, как раз-таки 8, то есть Вам показалось правильно — НОД = 10!)

Хотя я и не утверждал, что приведённое число — НОД, после исправления оно таки им стало.

[Shadow]

whitefox в сообщении #1178300 писал(а):

$\{4,5,6,9\}$ дают только седьмую степень двойки

Произведение четных чисел делится на 8, разность их квадратов делится на 4, ну и разность квадратов нечетных чисел делится на 8, так что степень двойки - минимум восьмая.

[whitefox]

Shadow
Вы правы, одну двойку упустил.
То есть НОД = 10!

[Ktina]

Shadow
Большое спасибо!