2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 [Теория категорий] Контравариантность экспоненциала
Сообщение18.12.2016, 16:31 
Аватара пользователя


29/05/11
227
Красноармейск, Донецкая обл.
Пусть $f: a\to b$ — морфизм категории $\mathcal{C}$. Тогда для любого морфизма $i: b \to \Omega$ имеем $i\circ f: a \to \Omega$ и (в соответствующих предположениях, напр. в д.з.к.) для любого $\hat{i} : 1\to \Omega^b$ строим $\widehat{i\circ f}: 1\to \Omega^a$. Так определяются функции $$\mathrm{Hom}(a,b) \to \mathrm{Hom}_{\mathrm{Set}} (\mathrm{Hom}(b,\Omega),\mathrm{Hom}(a,\Omega))$$$$\mathrm{Hom}(a,b) \to \mathrm{Hom}_{\mathrm{Set}} (\mathrm{Hom}(1,\Omega^b),\mathrm{Hom}(1,\Omega^a)).$$

Существует ли морфизм $\bar{f}: \Omega^b\to\Omega^a$ такой, что $\hat{i}\circ\bar{f} = \widehat{i\circ f}$?
Какие минимальные требования следует выставить категории, чтобы в ней такой морфизм присутствовал?

P.S. $\Omega$ — произвольный объект, но в частности интересует классификатор (если $\mathcal{C}$ топос).
P.P.S. заинтересовал вопрос о построении ковариантного и контравариантного функтора булеана. В Set $A\mapsto 2^A$ можно сделать ковариантным $(f:A\to B)\mapsto \{ f(x) | x\in A \} : 2^A\to 2^B$ и контравариантным $(f:B\to A) \mapsto \{x | f(x) \in A\} : 2^A\to 2^B$. Стало интересно, как в других категориях с этим обстоят дела.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group