Распад частиц

[Astroid]

Я пытаюсь разобраться с задачей на распад частиц, но без особых успехов. Буду признателен, если кто-нибудь подтолкнет в нужном направлении. Звучит задача так:
Покоящаяся частица $a$ распадается по схеме $a \to b + d$. Выразить энергию распада $Q_a = (m_a - m_b - m_d)$ ($c=1$) через кинетическую энергию одной из частиц $T_b$ и массы $m_b$, $m_d$.
Мои мысли пошли вот в таком направлении:
Функции Гамильтона частиц после разложения по малому $p$ будут такими:

$$H_i = m_ic^2 + \frac{p_i^2}{2m_i}, i=a,b,d$$

Далее я записал через них ЗСЭ и после простых преобразований получил:

$$Q_a = \frac{p_b^2}{2m_b} + \frac{p_d^2}{2m_d}$$

Но $\frac{p_i^2}{2m_i}, i=b,d$ — это кинетические энергии частиц. Таким образом, мне остается найти $p_d$ и задача решена, но на этом-то шаге я и начал тупить. Кажется, нужно как-то это выразить через ЗСИ (может даже в четырехмерном виде, чего бы мне хотелось избежать, если возможно), но из обычного механического ЗСИ выдается только $\vec{p_b} = -\vec{p_d}$, что не совсем мне подходит, потому что импульса $b$-й частицы я тоже не знаю.
Не уверен, логично ли еще, что этот параметр $Q_a$ у меня получился равен сумме кинетических энергий разлета частиц.

[Munin]

Astroid в сообщении #1177971 писал(а):

Функции Гамильтона частиц после разложения по малому $p$

Ничего раскладывать не надо. Нет условия, что импульсы малы. Наоборот, задача существенно релятивистская. Пользуйтесь полноценными релятивистскими формулами.

Astroid в сообщении #1177971 писал(а):

Кажется, нужно как-то это выразить через ЗСИ

Правильно кажется.

Astroid в сообщении #1177971 писал(а):

может даже в четырехмерном виде, чего бы мне хотелось избежать, если возможно

4-мерный ЗСИ = 3-мерный ЗСИ + ЗСЭ.
В точности.

Astroid в сообщении #1177971 писал(а):

потому что импульса $b$-й частицы я тоже не знаю.

Намёк: вы знаете её массу и кинетическую энергию.

-- 18.12.2016 04:23:37 --

P. S. А 4-мерный формализм осваивайте. Это полезно. И в ближайшем будущем будет для вас столь же повседневно необходимо, как и умножать в столбик.

[Astroid]

Хм. Действительно, можно выразить импульс через кинетическую энергию и массу. Выражение для квадрата импульса при $(c=1)$ у меня вышло такое: $p_b^2 = T_b^2+2T_bm_b$.
Таким образом,

$$p_b=-p_d \to p_b^2=p_d^2$$

Далее, по ЗСЭ:

$$m_a=\sqrt{p_b^2+m_b^2} + \sqrt{p_d^2+m_d^2}$$

Тут вспоминаем, что полная энергия $b$-й частицы это сумма $T_b + m_b$, подставляем квадрат импульса в корень и получаем:

$$m_a-m_b = T_b + \sqrt{T_b+2T_bm_b+m_d^2}$$

Далее, предполагаю, нужно вычесть из обеих частей $m_d$ и это ответ? Или такой маневр не вполне законен?
К тому же, такой ответ разительно отличается от ответов в задачнике, это смущает.

UPD: во второй части задачи нужно было применить полученную формулу с реальными значениями для распада некой $\Sigma^+$-часицы на $\pi^+$-мезон и нейтрон и у меня все сошлось в точности численно. Удивительно, как по-разному можно записать одну и ту же формулу. Большое спасибо, Munin
.

[Munin]

У меня такой же ответ, как у вас. А что в задачнике?

[Sicker]

Вы квадрат у $T$ забыли.

[Munin]

Так всё-таки, какая формула была в задачнике? Мне уже интересно чисто посмотреть :-)

(Или назовите задачник, хотя бы.)

Sicker, да, разумеется, там квадрат, я и не заметил. Очевидная опечатка, потому что всё остальное выражение верное.