Как вводится мера

[Someone]

_hum_ в сообщении #1177552 писал(а):

схема жордана не предполагает счетной аддитивности

Ну да, ну да. "Не предполагает". Там другое условие используется. Существенно более сильное.

_hum_ в сообщении #1177587 писал(а):

Какое именно, что схема Жордана не требует счетной аддитивности? Тогда см., например,

Нет, конечно, счётная аддитивность явно не формулируется, и схема Жордана вполне применима к конечно аддитивной мере, заданной на некотором кольце $\mathfrak R$, давая при этом конечно аддитивную меру $\mu^*$, определённую на более широком кольце $\mathfrak R^*$.
Но! Пусть $A\in\mathfrak R^*\setminus\mathfrak R$, и пусть множества $A_k\in\mathfrak R$, $k\in\mathbb N$, попарно не пересекаются и $A=\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}A_k$. Докажите, в качестве упражнения, что $\mu(A)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\mu(A_k)$.
Вообще говоря, не каждое множество $A\in\mathfrak R^*\setminus\mathfrak R$ можно представить в виде объединения последовательности элементов кольца $\mathfrak R$. Покажите, что существуют такие попарно не пересекающиеся множества $A_k\in\mathfrak R$, $k\in\mathbb N$, что $\mu\Bigl(A\bigtriangleup\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}A_k\Bigr)=0$.
И не говорите, что счётная аддитивность не имеет отношения к схеме Жордана.

[_hum_]

Someone в сообщении #1177601 писал(а):

конечно, счётная аддитивность явно не формулируется, и схема Жордана вполне применима к конечно аддитивной мере, заданной на некотором кольце $\mathfrak R$, давая при этом конечно аддитивную меру $\mu^*$, определённую на более широком кольце $\mathfrak R^*$.
Но! Пусть $A\in\mathfrak R^*\setminus\mathfrak R$, и пусть множества $A_k\in\mathfrak R$, $k\in\mathbb N$, попарно не пересекаются и $A=\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}A_k$. Докажите, в качестве упражнения, что $\mu(A)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\mu(A_k)$.

Вы про какую меру - любую или длину/площадь? Если любую, то это же неверно, ибо тогда доказательство бы проходило и для множеств исходного кольца.

Честно говоря, я перестал Вас понимать. Речь шла о том, что для измерения круга достаточно использовать схему Жордана, которая никакой счетной-аддитивности от меры не требует.

[Someone]

_hum_ в сообщении #1177607 писал(а):

Если любую, то это же неверно, ибо тогда доказательство бы проходило и для множеств исходного кольца.

Someone в сообщении #1177601 писал(а):

Пусть $A\in\mathfrak R^*\setminus\mathfrak R$, и пусть множества $A_k\in\mathfrak R$, $k\in\mathbb N$, попарно не пересекаются и $A=\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}A_k$. Докажите, в качестве упражнения, что $\mu(A)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\mu(A_k)$.

Чёрт, неправильно сформулировал. Имел в виду ведь не любые множества $A_k$.

Пусть $A\in\mathfrak R^*\setminus\mathfrak R$. Тогда существуют такие непустые попарно не пересекающиеся множества $A_k\in\mathfrak R$, $k\in\mathbb N$, что $\mu(A)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\mu(A_k)$ и $\mu\Bigl(A\bigtriangleup\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}A_k\Bigr)=0$ (можно даже считать, что $\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}A_k\subseteq A$).

[_hum_]

Someone в сообщении #1177625 писал(а):

Пусть $A\in\mathfrak R^*\setminus\mathfrak R$. Тогда существуют такие непустые попарно не пересекающиеся множества $A_k\in\mathfrak R$, $k\in\mathbb N$, что $\mu(A)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\mu(A_k)$ и $\mu\Bigl(A\bigtriangleup\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}A_k\Bigr)=0$ (можно даже считать, что $\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}A_k\subseteq A$).

и? в частном случае, когда $\mathfrak R^* = \mathfrak R$, это вообще сродни тривиальному утверждению
для любого $A\in\mathfrak R$ существуют такие попарно не пересекающиеся множества $A_k\in\mathfrak R$, $k\in\mathbb N$, что $\mu(A)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\mu(A_k)$
но оно никаким образом не связано со счетной-аддитивностью.

[Someone]

_hum_ в сообщении #1177672 писал(а):

для любого $A\in\mathfrak R$ существуют такие попарно не пересекающиеся множества $A_k\in\mathfrak R$, $k\in\mathbb N$, что $\mu(A)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\mu(A_k)$

В вашей формулировке — никак.
А моя формулировка означает, что каждое множество $A\in\mathfrak R^*\setminus\mathfrak R$, с точностью до множества меры $0$, является объединением некоторой бесконечной последовательности элементов кольца $\mathfrac R$, а его мера фактически определяется как сумма мер элементов этой последовательности.
Разумеется, это не означает настоящей счётной аддитивности, но явно означает, что совсем без неё дело не обходится. А если исходная мера на кольце $\mathfrac R$ была счётно аддитивной, то полученная из неё по схеме Жордана мера также будет счётно аддитивной.

_hum_ в сообщении #1177672 писал(а):

в частном случае, когда $\mathfrak R^* = \mathfrak R$, это вообще сродни тривиальному утверждению

Конечно. Если кольцо $\mathfrac R$ такое, что схема Жордана не может добавить ни одного элемента к этому кольцу, то о чём же и говорить-то…

[_hum_]

Someone в сообщении #1177757 писал(а):

_hum_ в сообщении #1177672 писал(а):

для любого $A\in\mathfrak R$ существуют такие попарно не пересекающиеся множества $A_k\in\mathfrak R$, $k\in\mathbb N$, что $\mu(A)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\mu(A_k)$

В вашей формулировке — никак.
А моя формулировка означает, что каждое множество $A\in\mathfrak R^*\setminus\mathfrak R$, с точностью до множества меры $0$, является объединением некоторой бесконечной последовательности элементов кольца $\mathfrac R$, а его мера фактически определяется как сумма мер элементов этой последовательности.
Разумеется, это не означает настоящей счётной аддитивности, но явно означает, что совсем без неё дело не обходится. А если исходная мера на кольце $\mathfrac R$ была счётно аддитивной, то полученная из неё по схеме Жордана мера также будет счётно аддитивной.

с вами можно было бы согласиться (относительно того, что схема жордана перекликается со счетной аддитивностью), если бы жорданова мера на $A\in\mathfrak R^*\setminus\mathfrak R$ оказывалась счетно-аддитивной. в вашей же формулировке вместо принципиального "для любых", участвует ничего не значащее "существуют", а потому ни о какой связи со счетной аддитивностью речи быть не может.

[Someone]

_hum_ в сообщении #1177769 писал(а):

в вашей же формулировке вместо принципиального "для любых", участвует ничего не значащее "существуют"

Значащее: меры "новых" множеств фактически определяются как счётные суммы мер "старых" множеств. То есть, без счётных сумм, хотя бы и в завуалированном виде, дело не обходится. А существование требуемых последовательностей множеств следует прямо из определения измеримости по Жордану. Причём, не просто существует, а любая, удовлетворяющая условию, указанному в определении измеримости. Причём, и при определении меры Лебега требуется не больше. Там тоже вовсе не любые последовательности годятся, хотя ограничение более слабое. Но я же и сказал уже, что условие измеримости по Жордану более ограничительное.

_hum_ в сообщении #1177769 писал(а):

потому ни о какой связи со счетной аддитивностью речи быть не может

Я ведь не утверждаю, что получается счётная аддитивность. Я просто обращаю ваше внимание на то, что без счётных сумм (или пределов последовательностей, что эквивалентно) дело не обходится. Начиная с площади круга.

[_hum_]

еще раз повторюсь, присутствие счетных сумм к счетной аддитивности меры имеет лишь формальное отношение. но если вы думаете иначе, ваше право. в конце-концов, вопрос был не в этом, а в том, является ли свойство счетной аддитивности (именно счетной-аддитивности, а не "присутствие счетных сумм") необходимым для построения более-менее содержательной теории меры, в частности, позволяющей измерить круг. вы утверждали, что является, но так до сих пор этого и не показали.

[ewert]

Someone в сообщении #1177774 писал(а):

без счётных сумм (или пределов последовательностей, что эквивалентно)

Это отнюдь не эквивалентно. То, как устроены процедуры вычисления конкретных площадей -- формально никак не связано с определением меры и её свойствами.

И, что главное, это не имеет никакого отношения к счётной аддитивности. Последняя подразумевает, что мера должна быть задана именно на сигма-алгебре. Т.е. измеримым должно быть любое счётное объединение. А если лишь какие-то объединения вдруг нечаянно оказываются измеримыми -- так мало ли какие казусы случаются; что с того?

Зато конечной аддитивностью мера Жордана обладает в точном смысле.

Кстати, понятия "множества меры ноль" в мере Жордана нет. Поскольку оно (если ограничиваться только конструкцией Жордана) достаточно бесполезно. Это понятие к мере Жордана добавляется (формально -- из меры Лебега, хотя фактически сам Лебег при этом не нужен).

_hum_ в сообщении #1177783 писал(а):

является ли свойство счетной аддитивности (именно счетной-аддитивности, а не "присутствие счетных сумм") необходимым для построения более-менее содержательной теории меры, в частности, позволяющей измерить круг

Действительно, для очень многих вещей достаточно конечной аддитивности. Скажем, для кратных интегралов по Риману. Однако для построения полноценной теории (в частности, для обеспечения полноты функциональных пространств) нужна аддитивность именно счётная.

[_hum_]

ewert в сообщении #1177806 писал(а):

это не имеет никакого отношения к счётной аддитивности. Последняя подразумевает, что мера должна быть задана именно на сигма-алгебре. Т.е. измеримым должно быть любое счётное объединение.

неее. понятие счетной аддитивности содержательно для любой системы множеств, на которой изначально задана мера (обычно рассматривают полукольцо).
кстати, там еще интересно получается - на полукольце свойство счетной аддитивности оказывается сильнее свойства непрерывности меры, что ставит вопрос о том, какое из этих понятий более естественно для меры (то есть, проистекает из практических нужд), а какое техническое (для облегчения построения математических конструкций, наподобие вещественных чисел вместо рациональных).

ewert в сообщении #1177806 писал(а):

Кстати, понятия "множества меры ноль" в мере Жордана нет. Поскольку оно (если ограничиваться только конструкцией Жордана) достаточно бесполезно.

это как бесполезно? а как же мера границы измеримого (по жордану) плоского множества?

ewert в сообщении #1177806 писал(а):

Действительно, для очень многих вещей достаточно конечной аддитивности. Скажем, для кратных интегралов по Риману. Однако для построения полноценной теории (в частности, для обеспечения полноты функциональных пространств) нужна аддитивность именно счётная.

или все-таки непрерывность?:)
и вообще, никто не задавался вопросом, откуда все-таки растут ноги у этого условия? является следствием пополнения множества рациональных чисел?

[ewert]

_hum_ в сообщении #1177832 писал(а):

является следствием пополнения множества рациональных чисел?

Ну, следствием-то никак не может являться. Разве что использоваться как наводящее соображение, да и то не более чем по смутной аналогии.

_hum_ в сообщении #1177832 писал(а):

а как же мера границы измеримого (по жордану) плоского множества?

Да, факт существенный. Но к понятию "мера ноль" как таковому отношения не имеет. Это -- лишь очень частный случай такового понятия.

_hum_ в сообщении #1177832 писал(а):

или все-таки непрерывность?:)

Строго говоря, не знаю. Но точно знаю, что без счётности аддитивности с предельными переходами выйдет дело швах.

_hum_ в сообщении #1177832 писал(а):

неее. понятие счетной аддитивности содержательно для любой системы множеств, на которой изначально задана мера (обычно рассматривают полукольцо).

неееее. Понятие счётной аддитивности просто бессмысленно без сигма-алгебростности. Т.е. оно без неё тупо не пришей кобыле хвост. Т.е. формально-то его ввести можно, а толку-то.

[Anton_Peplov]

Пусть мера задана на системе множеств $\Sigma$. По определению, мера сигма-аддитивна, если мера любого счетного объединения элементов $\Sigma$ равна сумме мер этих элементов. Т.е. любое счетное объединение, раз оно имеет меру, является элементом $\Sigma$, а значит, $\Sigma$ является сигма-алгеброй, а не просто кольцом или тем более полукольцом. В принципе, определение сигма-аддитивности можно изнасиловать, добавив "если это объединение принадлежит $\Sigma$", и тогда можно юзать хоть кольца, хоть полукольца. Точно так же можно изнасиловать и определение конечной аддитивности, и тогда можно не ограничиваться полукольцами, а рассматривать произвольные системы множеств. Но таки что я буду иметь с этого гешефта? Ведь про каждое объединение придется думать, принадлежит ли оно рассматриваемой системе множеств.

[ewert]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1177945 писал(а):

Но таки что я буду иметь с этого гешефта?

ewert в сообщении #1177930 писал(а):

Т.е. оно без неё тупо не пришей кобыле хвост.

Спасибо за расшифровку.

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1177945 писал(а):

В принципе, определение сигма-аддитивности можно изнасиловать, добавив "если это объединение принадлежит $\Sigma$", и тогда можно юзать хоть кольца, хоть полукольца. … Но таки что я буду иметь с этого гешефта?

Возможность продолжить меру на $\sigma$-кольцо. При этом получится мера, а не конечно аддитивная мера. И продолжение по Жордану сохраняет это свойство, хотя $\sigma$-кольца и не даёт.

[grizzly]

Anton_Peplov в сообщении #1177945 писал(а):

определение сигма-аддитивности можно изнасиловать, добавив "если это объединение принадлежит $\Sigma$", и тогда можно юзать хоть кольца, хоть полукольца.

Интересно, традиция таких вот изнасилований в теории меры идёт от Халмоша или ещё раньше? (Халмош вводит меру как сигма-аддитивную функцию на кольце с соответствующим изнасилованием.)
Впрочем, Халмош мог сильно устареть. Вот в этой энциклопедии от Springer все эти изнасилования выглядят ещё более вульгарно, но при этом имеют современный (а не середины прошлого века) дизайн.