Задача по теории групп

[Noct]

Задача такая: есть группа $H$ матриц вида: $\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ 0 & 1\\\end{pmatrix}$, относительно умножения, где $\alpha, \beta \in \mathbb{Q}; \alpha \ne 0$. Нужно найти не единичную подгруппу, которая сопряжена в $H$ с любой своей собственной подгруппой. Я не совсем понимаю что от меня требуется:
Найти подгруппу $A \leqslant H$, такую что $\forall C < A: \forall h \in H: hCh^{-1} \subseteq H$? Тогда подходит $\left\langle \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & 1\\\end{pmatrix} \right\rangle$, ибо она абелева и все подгруппы в ней нормальны. И важно-ли ограничение $\alpha, \beta \in \mathbb{Q}$, или можно брать $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$?

[DeBill]

Noct
Что то у Вас неладно с условием задачи.
Потому что "собственной" запрещает в качестве подгруппы брать ее саму (а она то себе сопряжена), но не запрещает брать подгруппу из одной единички (которая сопряжена токо единичной). Может, вместо "собственной" надо "нетривиальной"?
И - еще: есть тривиальный пример подгруппы из двух элементов. ... Но это ж неинтересно... Может, там еще было "бесконечную"?
Если -так, то: посмотрите на циклические подгруппы - а они ж всегда есть. И: сопряжение не меняет "альфу"...

(Оффтоп)

И тогда, может, имеет смысл посмотреть именно на циклические, порожденные эл-том с единичками на диагонали?

[vpb]

Да, Вы действительно неправильно пока поняли условие. На самом деле, оно написано вполне ясно, только в словесной, а не в символьной форме. Стало быть, надо вспомнить определения, а потом для контролю переписать в форме кванторов. А потом и дальше можно будет вопрос рассматривать.

-- 14.12.2016, 20:33 --

И да, коллега прав, надо между словами "своей" и "собственной" вставить слово "нетривиальной". Но это так, мелочь.

[Noct]

А так правильно?
Нужно найти $A \leqslant H: \forall B < A: \exists h \in H: hBh^{-1} = A$
При этом $A$ не может быть единичной по условию задачи а $B$, не может быть единичной, так как сопряжена только с самой собой?

[DeBill]

Noct
Теперь - правильно (в том смысле, что - соответствует Вашему тексту).
И теперь - можно посмотреть на советы, даденые раньше.
Единственно: Нам кажется, что в формулировке вашей задачи пропущено "нетривиальной" (потому как, если это не добавить, то задача вообще решений не имеет). И поэтому здесь

Noct в сообщении #1177259 писал(а):

не может быть единичной, так как сопряжена только с самой собой?

тоже должно быть "по условию".

[Noct]

Тогда в качестве $A$ можно взять циклическую подгруппу порожденную матрицей $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$, Тогда все ее подгруппы циклические и имеют вид: $\begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ne 0$.
Более того выполняется равенство:

$$\begin{pmatrix} 1/k & \beta \\ 0 & 1\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1/k & \beta \\ 0 & 1\\ \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\\ \end{pmatrix}$$

, а она порождает группу $A$.
Значит подгруппа $A$ и есть искомая

[DeBill]

Да. Осталось только неаккуратное выражение

Noct в сообщении #1177311 писал(а):

имеют вид:

заменить правильным "и каждая порождается элементом вида "

[Noct]

DeBill
Спасибо, забыл треугольные скобочки вокруг матрицы нарисовать.
И еще правильно ли я решил это задание?
Является ли $\varphi(z) = \frac{z^n}{|z|^n}$ гомоморфизмом $C^*$
И найти ядро и образ.
То что это гомоморфизм очевидно, ядро это корни $n$ - степени из 1, а образ это единичный круг.

[DeBill]

Noct в сообщении #1177857 писал(а):

ядро это корни $n$ - степени из 1

$z=7$ тоже в ядре....

[Noct]

То есть еще подходят положительные действительные числа, а если $n$ четное, то и отрицательные тоже подходят (без нуля сабо собой)
Ну и произведенения корней $n$ степени из 1 на них

-- 17.12.2016, 19:16 --

А если учесть что если $n$ - четное то $(-1)^n = 1$, то $\ker(\varphi) = C_n \times R^*$

[DeBill]

Noct в сообщении #1177863 писал(а):

то $\ker(\varphi) = C_n \times R^*$

Да. Почти. Потому как для нечетных - не так.

Noct в сообщении #1177863 писал(а):

если $n$ четное, то и отрицательные тоже подходят (

- потому что тогда "$-1$" - корень из единицы.
Так что в ответе надо заменить $R^*$ на $R_+$

[Noct]

Ура. Спасибо большое.