Об ошибке Гильберта и другие знаменитые ошибки

[jeremeev]

В книге Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен, «Нагляднаягеометрия», М., «Наука», 1981, стр. 338, приведена аналитическая модель проективной плоскости отождествлением полюсов сферы:

$u^2 + w^2 + v^2 = 1$

После некоторых выкладок Гильберт выводит уравнения двух гиперповерхностей $f_1(x_1, x_2, x_3, x_4)$ и $f_1(x_2, x_2, x_3, x_4)$. Их пересечение даёт аналитическое выражение для проективной плоскости в четырёхмерном Евклидовом пространстве.

Рассмотрим аналитическую модель проективной плоскости, предложенную ещё Гильбертом. А именно:

\begin{align*} x_1 = & u^2 - v^2 \\ x_2 = & u v \\ x_3 = & uw \\ x_4 = & v w \end{align*}

Уравнения для гиперповерхностей задаются так:

\begin{align*} x_2(x_3^2 - x_4^2) & = x_1 x_3 x_4 \\ x_2^2 x_3^2 + x_2^2 x_4^2 + x_3^2 x_4^2 & = x_2 x_3 x_4 \end{align*}

Но Гильберт, видимо, допустил ошибку. Его выражение таково:

$x_2(x_3 - x_4) & = x_1 x_3 x_4$

А какие знаменитые ошибки известны вам?

[Xaositect]

В немецком оригинале (D.Hilbert, S. Cohn-Vossen. Anschauliche Geometrie. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1932) квадраты есть. Так что это ошибка не Гильберта, а наборщика.

Но вообще, у Гильберта ошибки были. Дж.-К. Рота пишет, что при подготовке публикации избранных трудов Гильберта О. Таусская-Тодд долго работала над исправлением большого количества мелких ошибок.

[mihailm]

Правильнее назвать тему "Об опечатке в книге Гильберта и других опечатках".
Я уже нашел. В первой строке первого сообщения этой темы грубейшая опечатка).
Да и с заголовком что-то не так.

[scwec]

В книге Ю.И.Манина "Кубические формы алгебра, геометрия, арифметика" 1972 года на стр. 5 приведен следующий текст:
"Задача о суммах трёх кубов имеет почтенную историю. Вот основной результат, оставленный классиками (см. Диксон [1]).
Теорема. Любое рациональное число является суммой трех кубов рациональных чисел. Первое доказательство (Райли, 1825; Ричмонд, 1930):"

$$a=\left(\dfrac{a^3-3^6}{3^2{a^2}+3^4{a}+3^6}\right)^3+\left(\dfrac{-a^3+3^5{a}+3^6}{3^2{a^2}+3^4{a}+3^6}\right)^3+\left(\dfrac{a^2+3^4{a}}{3^2{a^2}+3^4{a}+3^6}\right)^3$$

Это тождество в книге (одно слагаемое, но в двух местах) содержит ошибку.
Эта ошибка позже переехала в книгу Ю.И.Манин, А.А.Панчишкин "Введение в теорию чисел" 1990г.,стр.191.
Найдите эту ошибку (опечатку).

[scwec]

Можно показать, что единственный вариант поправить тождество не трогая двух слагаемых, это:
два первых слагаемых оставить неизменными, а третье превратить в $\left(\dfrac{3^3{a^2}+3^5{a}}{3^2{a^2}+3^4{a}+3^6}\right)^3$.
Интересно, что Л. Диксон во втором томе своей трехтомной "Истории теории чисел" на стр.726 (на него ссылался Ю.И. Манин),
давая однопараметрическое решение уравнения $a=x^3+y^3+z^3$ в рациональных числах, тоже ошибся.
Но у него и решение другое, и ошибки другие, впрочем, поправимые.
Желающие могут полюбопытствовать.