Момент инерции кольца

[Defunator]

Найдите момент инерции тонкого кольца массы $m$ и радиуса $R$,
вращающегося вокруг оси перпендикулярной плоскости кольца и
проходящей через его обод. Хотел бы узнать, правильно ли следующее решение?(10 класс)
$dm = \frac{m dr}{2 \pi R}$
$dJ = dm r ^ 2 = \frac{m r ^ 2 dr}{2 \pi R}$
$J = \frac{m}{2 \pi R}\int\limits_{0}^{2R}(r ^ 2dr) = \frac{4mR^2}{3}$

[DimaM]

Defunator в сообщении #1177150 писал(а):

Хотел бы узнать, правильно ли следующее решение?

Неправильно. Если $r$ - координата вдоль кольца, то расстояние до оси вращения будет не $r$, а другое (а именно $R\left(1-\cos\left(\dfrac{r}{2\pi R}\right)\right)$).
Теорема Штейнера должна вам помочь.

[Defunator]

DimaM в сообщении #1177153 писал(а):

Defunator в сообщении #1177150 писал(а):

Хотел бы узнать, правильно ли следующее решение?

Неправильно. Если $r$ - координата вдоль кольца, то расстояние до оси вращения будет не $r$, а другое.
Теорема Штейнера должна вам помочь.

Тогда так:
$J = Jc + m r ^ 2 = \frac{3 m r ^ 2}{2}$

[DimaM]

Defunator в сообщении #1177155 писал(а):

Тогда так

У кольца $J_c$ не такой.

[EUgeneUS]

Это для диска получилось. Не в ту строчку таблицы с типовыми моментами инерции посмотрели.

[Defunator]

DimaM в сообщении #1177158 писал(а):

Тогда так
У кольца $J_c$ не такой.

Действительно, $J_c = m R ^ 2$. Тогда $J = 2 m R ^ 2$

[DimaM]

Defunator в сообщении #1177162 писал(а):

Извините, но откуда это?

Извините, опечатка - $2\pi$ лишние. Должно быть $R(1-\cos(r/R))$.
Выведено из вашего выражения для $dm$: там $r$ - это координата вдоль кольца. Попутно в интеграле верхний предел неправильный.

-- 15.12.2016, 18:18 --

Я дико извиняюсь за то, что ввожу в заблуждение.
У меня написано для оси, лежащей в плоскости кольца. Для перпендикулярной, конечно, по-другому. Если я снова не ошибаюсь, то расстояние будет $2R\sin\left(\dfrac{r}{2R}\right)$.

[Metford]

DimaM, а зачем Вы вводите координату вдоль кольца? Момент инерции тонкого кольца относительно перпендикулярной его плоскости оси, проходящей через центр, устно из определения находится, нет?..
А если ось в плоскости кольца - то просто ответ вдвое меньше. Зачем усложнять - или я чего-то не понял?..

[DimaM]

Metford в сообщении #1177205 писал(а):

а зачем Вы вводите координату вдоль кольца?

Это не я ввожу, а автор темы.

Metford в сообщении #1177205 писал(а):

Момент инерции тонкого кольца относительно перпендикулярной его плоскости оси, проходящей через центр, устно из определения находится, нет?

Вопрос был про момент инерции относительно оси, проходящей через край.

[Metford]

DimaM в сообщении #1177209 писал(а):

Это не я ввожу, а автор темы.

А, да, в самом деле. Что ж... Зря он так делает... И совсем уж зря обозначает её буквой $r$.

DimaM в сообщении #1177209 писал(а):

Вопрос был про момент инерции относительно оси, проходящей через край.

Да-да, это понятно. Это я к тому сказал, что если не выбирать координату вдоль кольца, то вычисление момента относительно оси через центр и применение теоремы Штейнера - процедура, не требующая даже чертежа. А тут какие-то сложности на ровном месте. Мой вопрос исчерпан, извините.