Как вводится мера

[_hum_]

Someone в сообщении #1176092 писал(а):

_hum_ в сообщении #1176058 писал(а):

длина отрезка на прямой автоматически является мерой (удовлетворяет всем свойствам меры)

То есть, Вы считаете, что множество отрезков является $\sigma$-алгеброй? Не шутите так скверно.

То есть, Вы считаете, что мера задается только на алгебре? "Не шутите так скверно"(с).
Даже в классических учебниках ее первичная область определения - это полукольцо. А уж в общем случае - любая система множеств.

[Someone]

_hum_ в сообщении #1176941 писал(а):

То есть, Вы считаете, что мера задается только на алгебре? "Не шутите так скверно"(с).
Даже в классических учебниках ее первичная область определения - это полукольцо. А уж в общем случае - любая система множеств.

А Вы когда-нибудь проходили путь от полукольца до $\sigma$-алгебры? Во всех деталях? Именно это я имел в виду, когда писал

Someone в сообщении #1165726 писал(а):

Ну что Вы, от длины дуги (даже на прямой) до меры ещё пилить и пилить, и не всякий эту дорогу осилит, если со всеми подробностями делать…

Да ещё дополнительно продолжение по Лебегу.

Кстати, у меня возникло ощущение, что спор идёт об определениях. Возможно, я слишком привык к тому, что мера определена непременно на $\sigma$-алгебре. Поскольку, если мера первоначально определена не на $\sigma$-алгебре, то её всегда можно продолжить на $\sigma$-алгебру (возможно, допуская множества бесконечной меры).

[_hum_]

Someone в сообщении #1176997 писал(а):

Кстати, у меня возникло ощущение, что спор идёт об определениях. Возможно, я слишком привык к тому, что мера определена непременно на $\sigma$-алгебре. Поскольку, если мера первоначально определена не на $\sigma$-алгебре, то её всегда можно продолжить на $\sigma$-алгебру (возможно, допуская множества бесконечной меры).

вот про это и речь. продолжать можете, куда угодно, но то, что функция длины на семействе отрезков уже является мерой - неоспоримый факт.

[ewert]

_hum_ в сообщении #1177047 писал(а):

функция длины на семействе отрезков уже является мерой - неоспоримый факт.

Меру можно определять и не на сигма-алгебре, а на просто алгебре. И это бывает отчасти полезно. Взять хоть меру Жордана.

Только вот "семейство отрезков" даже и алгеброй-то никакой не является. Какая уж тут мера.

[_hum_]

ewert, в общем случае меру можно определять на какой хотите системе множеств, главное, чтобы соответствующая функция обладала свойствами неотрицательности, монотонности и аддитивности.
в "классике" рассматриваются обычно меры на полукольце, с которого они единственным образом продолжаются на минимальное кольцо (ну, или алгебру, если есть единица и мера на ней конечна), потом, если мера не обладает счетной аддитивностью, и если очень хочется куда-то продолжить хоть как-то еще - на множество измеримых по жордану (относительно построенной меры жордана), а если обладает, единственным образом на минимальную сигма-алгебру, и потом, если хочется куда-то продолжить хоть как-то еще, на сигма-алгебру измеримых по лебегу (относительно построенной меры).

об этом очень неплохо написано в толстове

[Someone]

_hum_ в сообщении #1177088 писал(а):

меру можно определять на какой хотите системе множеств, главное, чтобы соответствующая функция обладала свойствами неотрицательности, монотонности и аддитивности.

Ничего подобного. Это называется не мерой, а конечно аддитивной мерой.
А мера — это конечно аддитивная мера, обладающая свойством счётной аддитивности (Математическая энциклопедия).

[_hum_]

Someone в сообщении #1177383 писал(а):

_hum_ в сообщении #1177088 писал(а):

меру можно определять на какой хотите системе множеств, главное, чтобы соответствующая функция обладала свойствами неотрицательности, монотонности и аддитивности.

Ничего подобного. Это называется не мерой, а конечно аддитивной мерой.
А мера — это конечно аддитивная мера, обладающая свойством счётной аддитивности (Математическая энциклопедия).

конечно аддитивная мера :) суть меры не в счетной аддитивности, а именно в указанных трех свойствах.

[Someone]

Тем не менее, термин "мера" без эпитетов закреплён за функцией, кроме всего прочего, обладающей счётной аддитивностью. А то, что Вы говорите, так и называется: "конечно аддитивная мера". Читайте "Математическую энциклопедию".

[Anton_Peplov]

Это терминологические тонкости, которые различаются от учебника к учебнику. Например, в Колмогорове-Фомине термин "мера" без эпитетов не предполагает счетной аддитивности, а если она есть, вводится специальный термин "сигма-аддитивная мера". Не думаю, что здесь имеет смысл спорить, какая из терминологических традиций авторитетнее.

[Someone]

_hum_ в сообщении #1177462 писал(а):

суть меры не в счетной аддитивности, а именно в указанных трех свойствах

Категорически не согласен. Конечно, если Вы ограничиваетесь элементарной геометрией и рассматриваете только простейшие множества (отрезки, многоугольники, многогранники) и постулируете длину отрезка, площадь треугольника, объём треугольной пирамиды, то конечной аддитивности Вам хватит (хотя уже в этих случаях счётная аддитивность выполняется, но доказательство этого выходит за рамки элементарной геометрии). Но уже определение площади круга явным образом требует счётной аддитивности и выхода за пределы элементарной геометрии.

-- Пт дек 16, 2016 11:59:59 --

Anton_Peplov в сообщении #1177473 писал(а):

в Колмогорове-Фомине термин "мера" без эпитетов не предполагает счетной аддитивности, а если она есть, вводится специальный термин "сигма-аддитивная мера"

Это выглядит нецелесообразным по меньшей мере в функциональном анализе. Поскольку типичным случаем является как раз "сигма-аддитивная мера", и придётся постоянно произносить лишние слова.

[_hum_]

Someone в сообщении #1177479 писал(а):

Но уже определение площади круга явным образом требует счётной аддитивности и выхода за пределы элементарной геометрии.

ну, где ж явным образом, когда схема жордана позволяла даже грекам считать площадь круга безо всяких премудростей.

[Brukvalub]

_hum_, не лукавьте. Здесь все понимают разницу между категориями "посчитать" и "построить теорию мероизмерения". Физики, например, давно функциональные интегралы "считают", а общей теории так и нет.

[_hum_]

Brukvalub, схема жордана не предполагает счетной аддитивности.

[Brukvalub]

_hum_ в сообщении #1177552 писал(а):

Brukvalub, схема жордана не предполагает счетной аддитивности.

Докажите это утверждение.

[_hum_]

Brukvalub в сообщении #1177568 писал(а):

_hum_ в сообщении #1177552 писал(а):

Brukvalub, схема жордана не предполагает счетной аддитивности.

Докажите это утверждение.

Какое именно, что схема Жордана не требует счетной аддитивности? Тогда см., например, Толстов Г.П. "Мера и интеграл", 1976, глава III Продолжение меры. Меры Лебега и Лебега-Стилтьеса, параграф 1 "Внутренняя и внешняя меры, индуцированные произвольной мерой. Продолжение меры по схеме древних греков"