Вероятность события - как посчитать?

[Skipper]

Задача, какова вероятность того, что - на выборке из $48$ испытаний,
произойдет не менее $29$ элементарных событий с вероятностью $0.25$,
и оставшиеся события - ($19$ или менее) будут с вероятностью $0.75$.

Мой вариант решения, но не уверен, правильный он или нет. Поправьте, если я неправ.

1) Посчитаем сначала количество сочетаний, на множестве $48$ элементарных исходов, в которых присутствуют строго $29$ элементарных исходов
определенного типа, неважно в каком порядке.
Т.е. известно что $29$ этих событий произошли, но порядок их мог быть любым, к примеру, $1$-е, $2$-е, $5$-е,... $47$-е.
Или какой нибудь другой порядок следования событий.
Пусть множество этих, перестановок (различных порядков следования событий) состоит строго из $A$ элементов, и
находим, $A =$ $C_{29}^{48}$ = $\frac{48!}{29! (48-29)!} = 11 541 847 896 480$ элементов.

2) А далее, для решения задачи, придём, к более сложным предположениям.
Обозначим наше элементарное событие в бинарном представлении, $00$, $01$, $10$, $11$,
исходы этих $4$-х событий - равновероятны.
Значит, если встречается хотя бы одна цифра $1$, то вероятность такого события $0.75$, а если оба нуля, т.е. $00$ - то вероятность
такого события $0.25$. С такой же вероятностью появляются и пары цифр в бинарном представлении.
Тогда, все наши $48$ испытаний, можно записать одним числом в бинарном представлении, к примеру, $001101100101101110...$
длиной в $48+48 = 96$ цифр. Всё множество любых возможных исходов, будет иметь мощность $2^{96}$.

Так как у нас гарантированно встретились $29$ элементарных событий, с вероятностью $0.25$, а остальные - могут быть
любыми событиями, то в получившемся ряду, гарантированно будет $29 \cdot 2 = 58$ нулей,
(к тому же, стоящих парами, но в моем примере, это не имеет значения).

Остальные цифры могут быть любыми. Т.к. достоверно известно, что в нашей выборке есть $58$ нулей, то остаётся $96-58 = 38$ цифр,
которые могут быть любыми (и $0$ и $1$), и мощность этого множества, которое представляет эти комбинации цифр,
равно $2^{38}$.

Умножив, вышеполученное число $A = 11 541 847 896 480$ (мощность множества, состоящего именно и точно из $29$-ти
интересующих нас маловероятных событий с вероятностью $0.25$ ), на число $2^{38}$,

получим число $B = 3172598992050431585157120$, которое представляет собой количество различных возможных последовательностей
из $48$ событий, в которых есть наши $29$ маловероятные (с вероятностью $0.25$), или есть более $29$-ти этих маловероятных событий.

Как уже выше упоминалось, множество всех событий, определяется бинарным рядом длиной в $96$ цифр ($0$ или $1$),
Значит, всё множество любых возможных исходов, будет иметь мощность $2^{96}$.

Разделим теперь наше число $B = 3172598992050431585157120$ на $2^{96}$, и получим решение задачи - вероятность, примерно равна,
$P = 0.00004 = 0.004 $ %.

Я нигде не ошибся?
Спасибо.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mihaild]

Вы, например, несколько раз (а точнее, $A$) посчитали вариант "это элементарное событие произошло $48$ раз".

[Skipper]

mihaild, я не понимаю, напишите пожалуйста подробнее, в чем у меня ошибка.
Есть 3 множества.

1) множество всех возможных исходов.
2) множество исходов, в котором маловероятные элементарные события, произошли строго $29$ раз.
3) множество исходов, в котором маловероятные элементарные события, произошли $29$ или более раз.

Разделив мощность 3-го множества, на мощность 1-го, я получил искомую вероятность.
Какое множество неверно?

[provincialka]

Skipper в сообщении #1176568 писал(а):

(к тому же, стоящих парами, но в моем примере, это не имеет значения).

Почему не имеет?

[mihaild]

Третье.
Давайте более простой пример. Пусть у нас всего $2$ эксперимента, и мы хотим, чтобы произошло хотя бы одно событие; пусть для простоты вероятность успеха и неудачи по $\frac{1}{2}$.
Вашим методом получается: у нас есть $C_2^1 = 2$ варианта, когда оно произошло, для каждого из них по $2$ варианта, что было с другим. Итого $4$ подходящих элементарных исхода. Но на самом деле их всего $3$, исход (произошло, произошло) мы посчитали два раза: один раз как "произошло первое, а второе как угодно - произошло", и как "произошло второе, а первое как угодно - произошло".

[Skipper]

Ясно, спасибо.
Значит у меня была ошибка.

Может быть, решение задачи, только именно для $29$ подобных событий - вероятность равна -

$C_{29}^{48} \cdot 0.25^{29} \cdot 0.75^{(48 - 29)} $

а тогда для исходной задачи - нужно посчитать сумму подобных значений, в которых число будет пробегать от $29$ до $48$ включительно?

Неужели никакого более простого и изящного решения нет?

[--mS--]

Skipper в сообщении #1180676 писал(а):

Неужели никакого более простого и изящного решения нет?

Есть: найти приближенно искомую вероятность с помощью ЦПТ (интегральной теоремы Муавра -- Лапласа).

[Skipper]

Цитата:

найти приближенно искомую вероятность с помощью ЦПТ

Какова получится приближенная формула?

[Brukvalub]

Skipper в сообщении #1180690 писал(а):

Какова получится приближенная формула?

А в учебнике страницы слиплись?

[Skipper]

Нашел, да, так действительно проще посчитать.