отношение мерностей

[chernogorov]

Господа математики!
Хочу понять и разобраться: отношение бесконечного кол-ва точек на плоскости к бесконечному кол-ву точек на прямой в этой же плоскости равно 2pi; отношение бесконечного кол-ва точек в объеме к бесконечному кол-ву точек на плоскости(или поверхности) в этом объеме равно 2pi.
Или я чего-то недопонимаю. Строю систему счисления с основанием 2pi, поэтому и возник такой вопрос.
С окружностью и радиусом этой окружности вроде бы понятно, но тоже не до конца. Точек на окружности уж точно в 2pi раз больше чем на радиусе.
Приношу извинения за возможную нематематичность терминов и убедительная просьба не отсылать к учебникам.

[Профессор Снэйп]

Ну а куда Вас ещё отсылать, если не к учебникам

1) Точек на прямой и на плоскости одинаковое количество: континнум.

2) Основание позиционной системы счисления должно быть целым, положительным и больше единицы. Или тут не "система счисления", а что попало рассматривается?

[Echo-Off]

Да нет, точек на плоскости столько же, сколько и прямых.

Вот помнится, на втором курсе на лекции по дифференциальным уравнениям мы проходили классификацию особых точек (фокусы всякие, узлы, центры итд). И дошли мы, наконец, до случая, когда оба собственных значения системы одинаковы. И тут лектор задаёт вопрос: "Каких систем дифуров больше: с вырожденным узлом (когда матрицу системы можно привести к одной жордановой клетке размера 2) или с дикритическим (когда две клетки размера 1)?" Предполагался ответ "с вырожденным узлом", т.к. системы с дикритическим узлом могут иметь только диагональную матрицу. Однако я ответил: "поровну". "Почему?!" - удивился лектор. "И тех, и тех континуум", - ответил я

[chernogorov]

Цитата:"Да нет, точек на плоскости столько же, сколько и прямых. "
Так и прямых бесконечное кол-во. Какой же это континиум? Более мощный?

[Профессор Снэйп]

chernogorov писал(а):

Цитата:"Да нет, точек на плоскости столько же, сколько и прямых. "
Так и прямых бесконечное кол-во. Какой же это континиум? Более мощный?

Читать учебники! Однозначно!!!

[chernogorov]

К черту учебники, не знаете - так и скажите. Повторю: число точек на окружности в 2pi раз больше точек на радиусе. Окружность двумерна, радиус - одномерен.
Отношение множества точек на плоскости к множеству точек на прямой дает неопределенность бесконечность/бесконечность
Раскройте ее.

[Echo-Off]

chernogorov писал(а):

К черту учебники, не знаете - так и скажите

Не знаем Читайте учебники.
Вот Хаусдорф Ф. — Теория множеств например. Сам я не читал (иначе был бы крутым спецом в теории множеств и смог бы вам помочь), но говорят, хорошая книжка

[shwedka]

chernogorov

Цитата:

Повторю: число точек на окружности в 2pi раз больше точек на радиусе.

В этой связи не могу удержаться от описания моего опыта обучения шведских студентов.
Рассказывала я им о следе матрицы (для неизучавших, сумма диагональных элементов ). Старалась...
Потом задание дала, найти след квадратной матрицы $n\times n$, заполненной единицами, по-спектральному и по-матричному.
Получаю восхитительный ответ $n\sqrt{2}$. Студент посчитал длину диагонали матрицы по теореме Пифагора. Яркин отдыхает.

chernogorov
А по-Вашему, на диагонали квадрата в $\sqrt{2}$ больше точек, чем на его стороне??

[chernogorov]

shwedka! Вопрос аналогичный моему. Ну не может быть длиннее в (2)^(1/2)? не укладывается в голове. Но великий Дирак решил задачу о рыбаках и рыбках дав ответ, что поймали они -2 рыбки. Формально правильно, а на деле. Понимаете, математика работает с точкой не имеющей размеров. А в физике это не применимо. Пример Наша Вселенная, где есть Планковские пределы. У меня они в основе нулевой физической точки, меньше быть не может. И тогда дифференциал по времени и размеру именно эти величины. Но даже в этом случае получается при единичном радиусе углов в 2pi раз больше. Да есть однозначное соответствие, через синус. Может здесь и есть ответ на вопрос: угол и длина несоизмеримы. Тогда и в случае диагонали квадрата вылезают углы. В любом случае происходит сравнение величин из разных мерностей. Что на это скажете?

[Salvador]

chernogorov писал(а):

число точек на окружности в 2pi раз больше точек на радиусе.

Говорить "число точек на окружности" и "число точек на радиусе" нехорошо, поскольку и тех и других бесконечно много. Тем более нельзя скозать, что одних в $2\pi$ раз больше чем других. Так не бывает. Их одинаковое число, в том смысле, что между точками радиуса и точками окружности можно установить взаимно однозначное соответствие.

chernogorov писал(а):

Окружность двумерна, радиус - одномерен.

Опять неверно. И то и другое одномерно. Но раз уж Вы не желаете видеть учебников, то Вам придется поверить мне на слово.

Вы, судя по всему, где-то слышали о том, что окружность в $2\pi$ раз длиннее радиуса. Это правда. Но если вы хотите рассмотреть плоскость, то нужно говорить не о длине, а о площади, и в этом случае площадь плоскости равна $\infty$, а площадь прямой - 0. Поделите, получите $\infty$.

[Коровьев]

Фи. Я вообще могу доказать, что точек на отрезке прямой больше, чем точек в квадрате, построенном на этом отрезке.
В самом деле.
Каждой точке квадрата с координатами в десятичной системе
$(0.a_1a_2a_3...,$ $0.b_1b_2b_3...)$
можно сопоставить точку прямой с координатой
$(0.a_1b_1a_2b_2a_3b_3...)$
То есть. В квадрате точек не больше чем в прямой. Это раз.
Теперь. Обратно.Точке прямой
$(1.a_10a_20a_30...)$
соответствует точка плоскости
$(0.a_1a_2a_3...,$ $1.000...)$
Дальше. Точке прямой
$(0.a_19a_29a_39...)$
соответствует точка плоскости
$(0.a_1a_2a_3...,$ $0.999...)=(0.a_1a_2a_3...,$ $1.000...)$!!!
То есть. Двум разным точкам прямой соответствует тока одна точка квадрата. Это два.
Значит, точек прямой больше точек квадрата. И всё тут. Спора нет.

[Dan B-Yallay]

chernogorov писал(а):

К черту учебники, не знаете - так и скажите. Повторю: число точек на окружности в 2pi раз больше точек на радиусе....

Раз между точками на окружности и точками на радиусе можно установить взаимно-однозначное соответствие, напрашивается лишь один вывод: их одинаковое количество, просто на окружности размер точки в $2 \pi$ раз больше чем на радиусе. А вот "диаметрные" лишь в 2 раза больше радиусных.

Пытаюсь теперь с помощью линейки сравнить парабольные точки и гипербольные. Линейка неточная - пока ничего не получается.

[TOTAL]

chernogorov писал(а):

В любом случае происходит сравнение величин из разных мерностей. Что на это скажете?

Допустим, мерности разные. Что и кому это дает?

[chernogorov]

Господа!
Все-таки о несоизмеримости углов и отрезков, Ваши соображения?
Я ведь не подкалываю, есть какое-то решение, но мне его из подсознания без обсуждения не вытащить.

[TOTAL]

chernogorov писал(а):

Господа!
Все-таки о несоизмеримости углов и отрезков, Ваши соображения?

Почему углов и отрезков?