равномерная непрерывность и условие Липшища

[Aiyyaa]

То есть для $F_1x: l_2 \to l_1$ по определению равномерной непрерывности:
$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta >0 \mid \rho (x,y)=\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)-y(n)|^2}< \delta \Rightarrow \rho (Fx,Fy)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}|Fx(n)-Fy(n)|< \varepsilon \forall x,y\in X$

[mihaild]

Да, так, только кванторы лучше все в начале ставить. И еще определение $F_1$ подставить (плюс опечатка в формуле - $F_1$ превратилась в $F$).
Потом расписать определение равномерной непрерывности для $f$, и внимательно посмотреть на две получившихся в результате формулы вида $\forall \varepsilon \exists \delta (A \rightarrow B)$.

[Aiyyaa]

То есть для $F_1x: l_2 \to l_1$ по определению равномерной непрерывности:
$ \forall x,y \in X \forall \varepsilon > 0 \exists \delta >0 \mid \rho (x,y)=\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)-y(n)|^2}< \delta \Rightarrow \rho (F_1x,F_1y)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}|F_1x(n)-F_2y(n)|< \varepsilon $
и определение равномерной непрерывности для $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ :

$\forall x,y\in X \forall \varepsilon > 0 \exists \delta >0 \mid |x-y|< \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|< \varepsilon $;

[mihaild]

Во-первых, вы перепутали порядок кванторов. Во-вторых, вы не подставили определение $F_1$, и откуда-то выползло $F_2$. В-третьих, откуда-то появилось $X$.
Для $f$ надо было написать следующее: $\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x,y \in \mathbb{R}: \left|x - y\right| < \delta \rightarrow \left|\sqrt[5]{x^2 \sin(x)} - \sqrt[5]{y^2 \sin(y)}\right| < \varepsilon$.
Напишите что-то аналогичное для $F_1$.

[Aiyyaa]

для $F_1x: l_2 \to l_1$ по определению равномерной непрерывности:
$ \forall \varepsilon > 0 \exists \delta >0 \forall x,y \in l_2 \mid \rho (x,y)=\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)-y(n)|^2}< \delta \to \rho (F_1x,F_1y)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}|F_1x(n)-F_1y(n)|=|(F_1x)(2)-(F_1y)(2)|< \varepsilon $

[mihaild]

А точнее можно? Записать условие, в котором $F_1$ вообще не будет, только $f$.

[Aiyyaa]

$ \forall \varepsilon > 0 \exists \delta >0 \forall x,y \in l_2 \mid \rho (x,y)=\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)-y(n)|^2}< \delta \to \rho (F_1x,F_1y)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}|F_1x(n)-F_1y(n)|=|\sqrt[5]{x(1)^2 \sin(x(1))} - \sqrt[5]{y(1)^2 \sin(y(1))}|< \varepsilon $

[mihaild]

Давайте вы всё-таки будете учитывать предыдущие вопросы, и каждый раз думать и выписывать максимум из того, что можете придумать, иначе мы никогда никуда не придем.
Сделайте всё, что можете, для анализа непрерывности/равномерной непрерывности/липшицевости $F_1$, используя в качестве подсказки известные свойства $f$.

[Aiyyaa]

по определению равномерной непрерывности $Fx$:
$ \forall \varepsilon > 0 \exists \delta >0 \forall x,y \in l_2 \mid \rho (x,y)=\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)-y(n)|^2}< \delta \to \rho (F_1x,F_1y)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}|F_1x(n)-F_1y(n)|=|\sqrt[5]{x(1)^2 \sin(x(1))} - \sqrt[5]{y(1)^2 \sin(y(1))}|< \varepsilon $
так как известно, что функция $f=\sqrt[5]{x(1)^2 \sin(x(1))}$ является равномерно-непрерывной, то и отображение $Fx$ является равномерно-непрерывным?

[mihaild]

Во-первых, $F_1$ - это только одно слагаемое из $F$.
Во-вторых, откуда по-вашему действует функция $f$?
В-третьих, нельзя просто написать определение и сказать "значит, нужное утверждение". Вам нужно доказать утверждение вида $\forall \varepsilon \exists \delta \forall x,y (A \rightarrow B)$ (что в данном случае из себя представляют $A$ и $B$?). Для этого нужно показать, откуда для данного $\varepsilon$ брать конкретное значение $\delta$, и почему для всех $x,y$ эта импликация будет выполнена.
При этом можно (и стоит) воспользоваться тем, что некоторое утверждение такого вида у вас уже есть.

[Aiyyaa]

mihaild в сообщении #1176420 писал(а):

Во-вторых, откуда по-вашему действует функция $f$?

из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$

mihaild в сообщении #1176420 писал(а):

Вам нужно доказать утверждение вида $\forall \varepsilon \exists \delta \forall x,y (A \rightarrow B)$ (что в данном случае из себя представляют $A$ и $B$?)

если имеется в виду функция $f=\sqrt[5]{x(1)^2 \sin(x(1))}$, то
$A=\mathbb{R}, B=\mathbb{R}$?

mihaild в сообщении #1176420 писал(а):

Для этого нужно показать, откуда для данного $\varepsilon$ брать конкретное значение $\delta$, и почему для всех $x,y$ эта импликация будет выполнена.

то есть мне нужно доказать равномерную непрерывность функции $f=\sqrt[5]{x(1)^2 \sin(x(1))}$?

mihaild в сообщении #1176420 писал(а):

что некоторое утверждение такого вида у вас уже есть.

где?

[mihaild]

Aiyyaa в сообщении #1176425 писал(а):

из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$

А что тогда значит

Aiyyaa в сообщении #1176418 писал(а):

$f=\sqrt[5]{x(1)^2 \sin(x(1))}$

Где у вас в правой части аргумент функции?

Aiyyaa в сообщении #1176425 писал(а):

то
$A=\mathbb{R}, B=\mathbb{R}$?

Нет. $A$ и $B$ - это утверждения, а не множества.
Что нужно подставить вместо $A$ и $B$, чтобы из $\forall \varepsilon \exists \delta \forall x,y (A \rightarrow B)$ получилось определение равномерной непрерывности $F_1$?

[Aiyyaa]

функция $f$ действует из $l_2$ в $l_1$ и $ A=\rho (x,y)=\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)-y(n)|^2}< \delta$ и $B=\rho (F_1x,F_1y)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}|F_1x(n)-F_1y(n)|=|(F_1x)(2)-(F_1y)(2)|< \varepsilon$ ?

[mihaild]

Не путайте $f$ и $F_1$.
И выпишите полностью, в одном посте (чтобы было явно видно)
-определение $F$, $F_1$, $f$ (что откуда куда действует, и как определяется)
-определение равномерной непрерывности произвольной функции $g$
-что получается подстановкой в определение равномерной непрерывности определения функции $f$ вместо $g$ (получившееся утверждение не должно содержать упоминаний $f$)
-аналогично предыдущему для $F_1$

[Aiyyaa]

mihaild в сообщении #1176747 писал(а):

определение $F$, $F_1$, $f$ (что откуда куда действует, и как определяется)

$F$ действует из $l_2$ в $l_1$ и определяется как $Fx=(0,\sqrt[5]{x^2(1) \sin x(1)},\frac{x(1)}{2},\frac{x(2)}{3},...)$;
$F_1$ действует из $l_2$ в $l_1$ и определяется как $F_1x=(0,\sqrt[5]{x^2(1) \sin x(1)},0,0,...)$;
$f$ действует из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$ и определяется как $f(x)=\sqrt[5]{x^2 \sin x}$;

mihaild в сообщении #1176747 писал(а):

определение равномерной непрерывности произвольной функции $g$

Функция $g$ является равномерно-непрерывной, если выполняется условие:
$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x,y \in \mathbb{R}: \left|x - y\right| < \delta \rightarrow \left|g(x) - g(y)\right| < \varepsilon$

mihaild в сообщении #1176747 писал(а):

что получается подстановкой в определение равномерной непрерывности определения функции $f$ вместо $g$ (получившееся утверждение не должно содержать упоминаний $f$)

$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x,y \in \mathbb{R}: \left|x - y\right| < \delta \rightarrow \left|\sqrt[5]{x^2 \sin(x)} - \sqrt[5]{y^2 \sin(y)}\right| < \varepsilon$

Определение равномерной непрерывности для произвольного отображения $G:l_2\rightarrow l_1$
$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta >0 \forall x,y\in l_2 : \rho (x,y)=\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)-y(n)|^2}< \delta \Rightarrow \rho (Gx,Gy)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}|Gx(n)-Gy(n)|< \varepsilon $

Определение равномерной непрерывности для $F_1$:


$ \forall \varepsilon > 0 \exists \delta >0 \forall x,y \in l_2 : \rho (x,y)=\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)-y(n)|^2}< \delta \to \rho (F_1x,F_1y)= |\sqrt[5]{x(1)^2 \sin(x(1))} - \sqrt[5]{y(1)^2 \sin(y(1))}|< \varepsilon $