Сходимость по мере

[Lister]

Здравствуйте. В процессе решения одной задачи наткнулся на следующее утверждение:

Занумеруем все рациональные числа отрезка $[0,1]$ и запишем $k$-е число $r_k$ в виде несократимой дроби $r_k = p_k/q_k$. Положим $f_k(x) = e^{-(p_k-xq_k)^2}$ (последовательность функций).
Далее не совсем понятно:
Множество тех точек $x \in \mathbb{R}$, где $f_n(x) \geqslant \varepsilon$, при $0<\varepsilon<1$ является отрезком длины $2\sqrt{\ln(\varepsilon^{-1})}/q_k$. Эта величина стремится к нулю при $k\to\infty$. Значит, $f_k\to 0$ по мере (Лебега).

Попытки логарифмирования исходного выражения для $f_k(x)$ для получения указанной величины длины отрезка меня ни к чему не привели, непонятно, куда вообще делось в данной записи $p_k$. Для меня главное - понять, почему последовательность функций, построенных таким образом, сходится по мере на отрезке $[0,1]$. Буду благодарен, если кто-нибудь сможет это объяснить.

[RIP]

Lister писал(а):

Попытки логарифмирования исходного выражения для $f_k(x)$ для получения указанной величины длины отрезка меня ни к чему не привели,...

Попробуйте ещё раз.

Lister писал(а):

...непонятно, куда вообще делось в данной записи $p_k$.

Дело в том, что различные отрезки могут иметь равные длины .