равномерная непрерывность и условие Липшища

[Aiyyaa]

mihaild в сообщении #1174967 писал(а):

$e_2 = (0, 1, 0, \ldots) \in l_2$

то есть это такая бесконечная последовательность, в которой все элементы кроме второго равны нулю, а второй единице?

[mihaild]

Aiyyaa в сообщении #1174969 писал(а):

то есть это такая бесконечная последовательность, в которой все элементы кроме второго равны нулю, а второй единице?

Да. И такая последовательность принадлежит $l_2$ (почему?).

[Aiyyaa]

mihaild в сообщении #1174989 писал(а):

Да. И такая последовательность принадлежит $l_2$ (почему?).

потому что этот ряд сходится, то есть сумма $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|e_2|^2=1< \infty$
но мне не понятно, оператор $F_1$ применяется к последовательностям, которые на всех местах, кроме второго, имеют нули, а на втором месте постоянное число, не зависящее от n?

[mihaild]

Нет, $F_1$ - это отображение $l_2 \to l_1$.

Aiyyaa в сообщении #1172512 писал(а):

$F_1x=(0,\sqrt[5]{x^2(1) \sin x(1)},0,...)$

[Mikhail_K]

mihaild в сообщении #1175050 писал(а):

но мне не понятно, оператор $F_1$ применяется к последовательностям, которые на всех местах, кроме второго, имеют нули, а на втором месте постоянное число, не зависящее от n?

$F_1$ применяется к любым последовательностям, которые принадлежат $l_2$.
В частности, вот эта последовательность, про которую Вы говорите, принадлежит $l_2$ и поэтому к ней можно применять отображение $F_1$. Но его можно применять и ко многим другим последовательностям.
Важно то, что $F_1$ действует сразу на всю последовательность (и превращает её в другую последовательность, лежащую уже в $l_1$), а не на какие-то отдельные члены этой последовательности.

[Aiyyaa]

Mikhail_K в сообщении #1175052 писал(а):

Важно то, что $F_1$ действует сразу на всю последовательность (и превращает её в другую последовательность, лежащую уже в $l_1$), а не на какие-то отдельные члены этой последовательности.

то есть отображение $F_1$ переводит последовательность $x\in l_2$ в последовательность $F_1x=(0,\sqrt[5]{x^2(1)\sin x(1)},0,0,...) \in l_1$? В этом отображении $x(1)$ это первый элемент последовательности. Вместо второго элемента $x(2)$ последовательности из $l_2$ ставится корень пятой степени из квадрата первого элемента умноженного на синус первого элемента, и вместо остальных элементов последовательности ставятся нули?

[Lia]

Aiyyaa
А Вас предупреждали.
Расшифруйте все обозначения из Вашего стартового поста самостоятельно, пожалуйста. Напишите это там.

А вообще, шли бы Вы сперва Треногина порешали.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

См. выше. До очередного самоликбеза и расшифровки обозначений.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Aiyyaa]

mihaild в сообщении #1174757 писал(а):

представьте функцию в виде суммы двух, как вам советовал DeBill. И подумайте, что можно сказать про непрерывность/равномерную непрерывность/липшицевость суммы.

то есть отображение $F$, которое переводит последовательность $x \in l_2$ в последовательность $Fx=(0,\sqrt[5]{x^2(1) \sin x(1)},\frac{x(1)}{2},\frac{x(2)}{3},...) \in l_1$, представляется в виде суммы $F_1x=(0,\sqrt[5]{x^2(1) \sin x(1)},0,...)$ и $F_2 x=(0,0,\frac{x(1)}{2},\frac{x(2)}{3},...)$. В $F_1x$ на месте $x(2)$ находится $\sqrt[5]{x^2(1) \sin x(1)}$, которая фактически является функцией корня из числа, которая, как известно, является равномерно-непрерывной, но не удовлетворяет условию Липшица в силу того, что производная этой функции стремится к бесконечности при $x$ стремящейся к нулю. То есть всё отображение $Fx$ из-за этого точно не удовлетворяет условию Липшица?

[mihaild]

Aiyyaa в сообщении #1175734 писал(а):

В $F_1x$ на месте $x(2)$

Так говорить нехорошо. Нет никакого "места" $x(2)$. Если хотите, можно говорить об $(Fx)(2)$ (раз уж вы используете функциональную нотацию для последовательностей).

Aiyyaa в сообщении #1175734 писал(а):

которая фактически является функцией корня из числа

Что такое "фактически является функцией"?

Давайте так:
введем функцию $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(t) = \sqrt[5]{t^2\sin t}$, и запишем $F_1 x = (0, f(x(1)), 0, \ldots)$.
К функции $f$ ваши рассуждения применимы (только надо как-то обосновать равномерную непрерывность). Но как связаны непрерывность/равномерная непрерывность/липшицевость функций $f$ и $F_1$?

Aiyyaa в сообщении #1175734 писал(а):

То есть всё отображение $Fx$ из-за этого точно не удовлетворяет условию Липшица?

Нет, конечно - то, что функция представляется в виде суммы слагаемых, одно из которых нелипшицево, еще не влечет ее нелипшицевости. Пример: $0 = x^2 - x^2$.

[Aiyyaa]

mihaild в сообщении #1176178 писал(а):

Что такое "фактически является функцией"?

в сообщении DeBill написано, что $ \sqrt[5]{x^2(1) \sin x(1)} $

Цитата:

фактически обычная функция на прямой

mihaild в сообщении #1176178 писал(а):

К функции $f$ ваши рассуждения применимы (только надо как-то обосновать равномерную непрерывность). Но как связаны непрерывность/равномерная непрерывность/липшицевость функций $f$ и $F_1$?

Я не знаю, как связаны.

mihaild в сообщении #1176178 писал(а):

только надо как-то обосновать равномерную непрерывность

все функции вида $f(x)=\sqrt[n]x, x\in \mathbb{ N }$ являются равномерно-непрерывными.

[mihaild]

Aiyyaa в сообщении #1176352 писал(а):

в сообщении DeBill написано, что $ \sqrt[5]{x^2(1) \sin x(1)} $

Там это было на уровне идеи. На обоснование это не тянет.

Aiyyaa в сообщении #1176352 писал(а):

Я не знаю, как связаны.

Подумайте. Распишите определение, например, равномерной непрерывности для $f$ и для $F_1$, подставив явно соответствующие метрики.

[Aiyyaa]

mihaild в сообщении #1176354 писал(а):

Распишите определение, например, равномерной непрерывности для $f$ и для $F_1$, подставив явно соответствующие метрики.

Расписать определение равномерной непрерывности для отображения $F_1$ в пространстве бесконечных последовательностей?

[mihaild]

Да.
И не надо про каждый шаг спрашивать, надо ли его делать, если у вас есть идея, что делать - лучше сделать, вам в крайнем случае подскажут, что было не так.